初中数学三角形计算题

在边长为2的等边三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $P$ 是 $\mathit{BC}$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{PN}\perp \mathit{AC}$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 边的何处时都有 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$ 的长恰好等于三角形 $\mathit{ABC}$ 一边上的高；

（2）当 $\mathit{BP}$ 的长为何值时，四边形 $\mathit{AMPN}$ 的面积最大，并求出最大值．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AC}$ 上，若 $\mathit{CD}=2$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{DE}$ ，交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $F$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

(回顾）

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于　    　．

（探究）

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有 $30°$的角，较短的直角边长为 $a$；另一个含有 $45°$的角，直角边长为 $b$，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形 $\mathit{ABCD}$（如图 $3)$，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形 $\mathit{EFGH}$（如图 $4)$，也推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，请你写出小明或小丽推出 $\sin 75°=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$的具体说理过程．

（应用）

在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\angle D=75°$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AD}=10$（如图5）

（1）点 $E$在 $\mathit{AD}$上，设 $t=\mathit{BE}+\mathit{CE}$，求 $t^2$的最小值；

（2）点 $F$在 $\mathit{AB}$上，将 $\mathit{\Delta BCF}$沿 $\mathit{CF}$翻折，点 $B$落在 $\mathit{AD}$上的点 $G$处，点 $G$是 $\mathit{AD}$的中点吗？说明理由．

我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线， $\mathit{AB}$与 $\mathit{AC}$的“极化值”就等于 $A{O}^2-B{O}^2$的值，可记为 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=A{O}^2-B{O}^2$．

（1）在图1中，若 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线，则 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=$　      　， $\mathit{OC}$△ $\mathit{OA}=$　     　；

（2）如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=4$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，求 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}$、 $\mathit{BA}$△ $\mathit{BC}$的值；

（3）如图3，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AO}$是 $\mathit{BC}$边上的中线，点 $N$在 $\mathit{AO}$上，且 $\mathit{ON}=\frac{1}{3}\mathit{AO}$．已知 $\mathit{AB}$△ $\mathit{AC}=14$， $\mathit{BN}$△ $\mathit{BA}=10$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $\angle B=90°$，小明想从中剪出一个以 $\angle B$为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　     　．

（拓展应用）

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=h$，矩形 $\mathit{PQMN}$的顶点 $P$、 $N$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，顶点 $Q$、 $M$在边 $\mathit{BC}$上，则矩形 $\mathit{PQMN}$面积的最大值为　    　．（用含 $a$， $h$的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $\mathit{ABCDE}$， $\mathit{AB}=32$， $\mathit{BC}=40$， $\mathit{AE}=20$， $\mathit{CD}=16$，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\angle B$为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $\mathit{ABCD}$，经测量 $\mathit{AB}=50\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=108\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=60\mathit{cm}$，且 $\tan B=\tan C=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$、 $N$在边 $\mathit{BC}$上且面积最大的矩形 $\mathit{PQMN}$，求该矩形的面积．

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

操作：“如图1， $P$是平面直角坐标系中一点 $(x$轴上的点除外），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，点 $C$绕点 $P$逆时针旋转 $60°$得到点 $Q$．”我们将此由点 $P$得到点 $Q$的操作称为点的 $T$变换．

（1）点 $P(a,b)$经过 $T$变换后得到的点 $Q$的坐标为　 　；若点 $M$经过 $T$变换后得到点 $N(6,-\sqrt{3})$，则点 $M$的坐标为　     　．

（2） $A$是函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x$图象上异于原点 $O$的任意一点，经过 $T$变换后得到点 $B$．

①求经过点 $O$，点 $B$的直线的函数表达式；

②如图2，直线 $\mathit{AB}$交 $y$轴于点 $D$，求 $\mathit{\Delta OAB}$的面积与 $\mathit{\Delta OAD}$的面积之比．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(5,0)$，以原点 $O$为圆心、3为半径作圆． $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$轴正半轴运动，运动时间为 $t\left(s\right)$．连接 $\mathit{AP}$，将 $\mathit{\Delta OAP}$沿 $\mathit{AP}$翻折，得到 $\mathit{\Delta APQ}$．求 $\mathit{\Delta APQ}$有一边所在直线与 $\odot O$相切时 $t$的值．

如图， $P$是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于点 $A$，以 $\mathit{AP}$为斜边在右侧作等腰 $\text{Rt}\Delta \text{APQ}$，已知直角顶点 $Q$的纵坐标为 $-2$，连接 $\mathit{OQ}$交 $\mathit{AP}$于 $B$， $\mathit{BQ}=2\mathit{OB}$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{OP}$，求 $\mathit{\Delta OPQ}$的面积与 $\mathit{\Delta OAQ}$的面积之比．

阅读理解：

如图①，图形 $\mathit{l}$外一点 $\mathit{P}$与图形 $\mathit{l}$上各点连接的所有线段中，若线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$最短，则线段 $\mathit{P}{\mathit{A}}_{\mathit{1}}$的长度称为点 $\mathit{P}$到图形 $\mathit{l}$的距离．

例如：图②中，线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}\mathit{A}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{1}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；线段 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}\mathit{H}$的长度是点 ${\mathit{P}}_{\mathit{2}}$到线段 $\mathit{AB}$的距离．

解决问题：

如图③，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的坐标分别为 $\mathit{(}\mathit{8}\mathit{,}\mathit{4}\mathit{)}$， $\mathit{(}\mathit{12}\mathit{,}\mathit{7}\mathit{)}$，点 $\mathit{P}$从原点 $\mathit{O}$出发，以每秒1个单位长度的速度向 $\mathit{x}$轴正方向运动了 $\mathit{t}$秒．

（1）当 $\mathit{t}\mathit{=}\mathit{4}$时，求点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离；

（2） $\mathit{t}$为何值时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离为5？

（3） $\mathit{t}$满足什么条件时，点 $\mathit{P}$到线段 $\mathit{AB}$的距离不超过6？（直接写出此小题的结果）

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，过点 $A(-2,0)$的直线交 $y$轴正半轴于点 $B$，将直线 $\mathit{AB}$绕着点 $O$顺时针旋转 $90°$后，分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $D$、 $C$．

（1）若 $\mathit{OB}=4$，求直线 $\mathit{AB}$的函数关系式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积是5，求点 $B$的运动路径长．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，一个以点 $A$为顶点的 $45°$角绕点 $A$旋转，角的两边分别与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{DC}$的延长线交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EF}$．设 $\mathit{CE}=a$， $\mathit{CF}=b$．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{EAF}$被对角线 $\mathit{AC}$平分时，求 $a$、 $b$的值；

（2）当 $\mathit{\Delta AEF}$是直角三角形时，求 $a$、 $b$的值；

（3）如图3，探索 $\angle \mathit{EAF}$绕点 $A$旋转的过程中 $a$、 $b$满足的关系式，并说明理由．

如图1，以 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交边 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，且 $\mathit{ED}\perp \mathit{AC}$．

（1）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DE}$的延长线交于点 $F$， $\angle C=75°$， $\mathit{CD}=2-\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径和 $\mathit{BF}$的长．