在边长为2的等边三角形ABC中，P是BC边上任意一点，过点P

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更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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挑错有奖

在边长为2的等边三角形 $ABC$ 中， $P$ 是 $BC$ 边上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PM ⊥ AB$ ， $PN ⊥ AC$ ， $M$ 、 $N$ 分别为垂足．

（1）求证：不论点 $P$ 在 $BC$ 边的何处时都有 $PM + PN$ 的长恰好等于三角形 $ABC$ 一边上的高；

（2）当 $BP$ 的长为何值时，四边形 $AMPN$ 的面积最大，并求出最大值．

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学校在"我和我的祖国"快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．

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如图：一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 的图象与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是函数 $y = - \frac{3}{4} x + 3 (0 < x < 4)$ 图象上任意一点，过点 $P$ 作 $PM ⊥ y$ 轴于点 $M$ ，连接 $OP$ ．

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空间任意选定一点 $O$ ，以点 $O$ 为端点，作三条互相垂直的射线 $ox$ 、 $oy$ 、 $oz$ ．这三条互相垂直的射线分别称作 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 $ox$ （水平向前）、 $oy$ （水平向右）、 $oz$ （竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．

将相邻三个面的面积记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，且 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ 的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体 $S_{1}$ 所在的面与 $x$ 轴垂直， $S_{2}$ 所在的面与 $y$ 轴垂直， $S_{3}$ 所在的面与 $z$ 轴垂直，如图1所示．

若将 $x$ 轴方向表示的量称为几何体码放的排数， $y$ 轴方向表示的量称为几何体码放的列数， $z$ 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作 $(1$ ，2， $6)$ ，如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作 $(2$ ，3， $4)$ ．这样我们就可用每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为　，组成这个几何体的单位长方体的个数为　　个；

（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是　　；（只填序号）

①每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

②有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．

③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．

④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．

⑤有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 的个数．

（3）为了进一步探究有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体的表面积公式 $S_{(x, y, z)}$ ，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

几何体有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为 $S_{1}$ 的个数	表面上面积为 $S_{2}$ 的个数	表面上面积为 $S_{3}$ 的个数	表面积
$(1$ ，1， $1)$	1	2	2	2	$2 S_{1} + 2 S_{2} + 2 S_{3}$
$(1$ ，2， $1)$	2	4	2	4	$4 S_{1} + 2 S_{2} + 4 S_{3}$
$(3$ ，1， $1)$	3	2	6	6	$2 S_{1} + 6 S_{2} + 6 S_{3}$
$(2$ ，1， $2)$	4	4	8	4	$4 S_{1} + 8 S_{2} + 4 S_{3}$
$(1$ ，5， $1)$	5	10	2	10	$10 S_{1} + 2 S_{2} + 10 S_{3}$
$(1$ ，2， $3)$	6	12	6	4	$12 S_{1} + 6 S_{2} + 4 S_{3}$
$(1$ ，1， $7)$	7	14	14	2	$14 S_{1} + 14 S_{2} + 2 S_{3}$
$(2$ ，2， $2)$	8	8	8	8	$8 S_{1} + 8 S_{2} + 8 S_{3}$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

根据以上规律，请写出有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体表面积计算公式 $S_{(x, y, z)}$ ；（用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 表示）

（4）当 $S_{1} = 2$ ， $S_{2} = 3$ ， $S_{3} = 4$ 时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．（缝隙不计）

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