初中数学待定系数法求二次函数解析式试题

已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？

（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，为抛物线第一象限上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接，，若，求的面积；

（3）如图2，连接，，若，求点的坐标．

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小．并求出点坐标；

（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+4x+c$ 经过原点 $O(0,0)$ 和点 $A(3,3)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B(m,0)$ ，并与直线 $\mathit{OA}$ 交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $\mathit{OA}$ 上方时，求线段 $\mathit{PC}$ 的最大值；

（3）过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点，点．已知抛物线是常数），顶点为．

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；

（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求抛物线的解析式．

已知抛物线是常数）经过点．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为．

①当点落在该抛物线上时，求的值；

②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值．

已知抛物线 $C:y=x^2-2x+1$ 的顶点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，点 $F(1,\frac{1}{2})$ ．

（Ⅰ） 求点 $P$ ， $Q$ 的坐标；

（Ⅱ） 将抛物线 $C$ 向上平移得到抛物线 $C\text{'}$ ，点 $Q$ 平移后的对应点为 $Q\text{'}$ ，且 $\mathit{FQ}\text{'}=\mathit{OQ}\text{'}$ ．

①求抛物线 $C\text{'}$ 的解析式；

②若点 $P$ 关于直线 $Q\text{'}F$ 的对称点为 $K$ ，射线 $\mathit{FK}$ 与抛物线 $C\text{'}$ 相交于点 $A$ ，求点 $A$ 的坐标 ．

综合与探究

如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．

（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标，并说明它的变化情况；

（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．

①试求抛物线的“不动点”的坐标；

②平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．

在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线经过点和点，顶点为，点在其对称轴上且位于点下方，将线段绕点按顺时针方向旋转，点落在抛物线上的点处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点移到原点的位置，这时点落在点的位置，如果点在轴上，且以、、、为顶点的四边形面积为8，求点的坐标．

已知在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，对称轴是直线，顶点为．

（1）求这条抛物线的表达式和点的坐标；

（2）点在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为，联结，用含的代数式表示的余切值；

（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点在轴上．原抛物线上一点平移后的对应点为点，如果，求点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$ 经过点 $A(4,-5)$ ，与 $x$ 轴的负半轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OC}=5\mathit{OB}$ ，抛物线的顶点为点 $D$ ．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{DA}$ ，求四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积；

（3）如果点 $E$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\angle \mathit{BEO}=\angle \mathit{ABC}$ ，求点 $E$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接、．以点为位似中心，画△，使它与位似，且相似比为2，、、分别是点、、的对应点．试判定是否存在满足条件的点、在抛物线上？若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由．