初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，在直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求 $b$ 、 $c$ 的值；

（2）点 $P(m,n)$ 为抛物线上的动点，过 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $l:y=x$ 于点 $Q$ ．

①当 $0<m<3$ 时，求当 $P$ 点到直线 $l:y=x$ 的距离最大时 $m$ 的值；

②是否存在 $m$ ，使得以点 $O$ 、 $C$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出 $m$ 的值．

如图所示，抛物线与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ， $\mathit{OC}=8$ ，抛物线的对称轴与直线 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $x$ 轴交于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以 $P$ 、 $C$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MNB}$ 相似？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3） $D$ 为 $\mathit{CO}$ 的中点，一个动点 $G$ 从 $D$ 点出发，先到达 $x$ 轴上的点 $E$ ，再走到抛物线对称轴上的点 $F$ ，最后返回到点 $C$ ．要使动点 $G$ 走过的路程最短，请找出点 $E$ 、 $F$ 的位置，写出坐标，并求出最短路程．

（4）点 $Q$ 是抛物线上位于 $x$ 轴上方的一点，点 $R$ 在 $x$ 轴上，是否存在以点 $Q$ 为直角顶点的等腰 $\text{Rt}\Delta \text{CQR}$ ？若存在，求出点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点 $P$在抛物线上且满足 $\angle \mathit{PCB}=\angle \mathit{CBD}$，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $M$是直线 $\mathit{BC}$上一个动点，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp x$轴交抛物线于点 $N$， $Q$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点，当 $\mathit{\Delta QMN}$为等腰直角三角形时，直接写出此时点 $M$及其对应点 $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和 $B(-5,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $P$，点 $N$在抛物线对称轴上且位于 $x$轴下方，连 $\mathit{AN}$交抛物线于 $M$，连 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当 $\tan \angle \mathit{ACM}=2$时，求 $M$点的横坐标；

（3）如图2，过点 $P$作 $x$轴的平行线 $l$，过 $M$作 $\mathit{MD}\perp l$于 $D$，若 $\mathit{MD}=\sqrt{3}\mathit{MN}$，求 $N$点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C(0,-3)$，点 $Q$为线段 $\mathit{BC}$上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求 $\left|\mathit{QO}\right|+\left|\mathit{QA}\right|$的最小值；

（3）过点 $Q$作 $\mathit{PQ}//\mathit{AC}$交抛物线的第四象限部分于点 $P$，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，记 $\mathit{\Delta PAQ}$与 $\mathit{\Delta PBQ}$面积分别为 $S_1$， $S_2$，设 $S=S_1+S_2$，求点 $P$坐标，使得 $S$最大，并求此最大值．

抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{bx}+b(a\ne 0)$与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$，且抛物线的对称轴为 $x=3$， $D$为对称轴与 $x$轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上方且平行于 $x$轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$、 $F$两点，若 $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积；

（3）若 $P(3,t)$是对称轴上一定点， $Q$是抛物线上的动点，求 $\mathit{PQ}$的最小值（用含 $t$的代数式表示）．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与 $x$轴相交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $N(n,0)$是 $x$轴上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若 $n<3$，过点 $N$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$．过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，当 $n$为何值时， $\mathit{\Delta PDG}\cong \mathit{\Delta BNG}$；

（3）如图2，将直线 $\mathit{BC}$绕点 $B$顺时针旋转，它恰好经过线段 $\mathit{OC}$的中点，然后将它向上平移 $\frac{3}{2}$个单位长度，得到直线 $O{B}_1$．

① $\tan \angle \mathit{BO}{B}_1=$　　；

②当点 $N$关于直线 $O{B}_1$的对称点 $N_1$落在抛物线上时，求点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形，点 $A$， $B$在 $x$轴上，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B$， $D(-4,5)$两点，且与直线 $\mathit{DC}$交于另一点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$为抛物线对称轴上一点， $Q$为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点 $Q$， $F$， $E$， $B$为顶点的四边形是以 $\mathit{BE}$为边的菱形．若存在，请求出点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $P$为 $y$轴上一点，过点 $P$作抛物线对称轴的垂线，垂足为 $M$，连接 $\mathit{ME}$， $\mathit{BP}$，探究 $\mathit{EM}+\mathit{MP}+\mathit{PB}$是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+5(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$，点 $B(1,0)$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $N$是抛物线上的一点，当 $\mathit{\Delta BDN}$是以 $\mathit{DN}$为腰的等腰三角形时，求点 $N$的坐标；

（3）点 $F$为线段 $\mathit{AE}$上的一点，点 $G$为线段 $\mathit{OA}$上的一点，连接 $\mathit{FG}$，并延长 $\mathit{FG}$与线段 $\mathit{BD}$交于点 $H$（点 $H$在第一象限），当 $\angle \mathit{EFG}=3\angle \mathit{BAE}$且 $\mathit{HG}=2\mathit{FG}$时，求出点 $F$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$和点 $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P$、 $Q$、 $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似，请直接写出点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于原点 $O$和点 $A$，且其顶点 $B$关于 $x$轴的对称点坐标为 $(2,1)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点 $F$，使得抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上的任意一点 $G$到定点 $F$的距离与点 $G$到直线 $y=-2$的距离总相等．

①证明上述结论并求出点 $F$的坐标；

②过点 $F$的直线 $l$与抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交于 $M$， $N$两点．

证明：当直线 $l$绕点 $F$旋转时， $\frac{1}{\mathit{MF}}+\frac{1}{\mathit{NF}}$是定值，并求出该定值；

（3）点 $C(3,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQBC}$周长最小，直接写出 $P$， $Q$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且点 $A$的坐标为 $(-1,0)$、点 $C$的坐标为 $(0,3)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图1，若该抛物线的顶点为 $P$，求 $\mathit{\Delta PBC}$的面积；

（3）如图2，有两动点 $D$、 $E$在 $\mathit{\Delta COB}$的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点 $C$和点 $B$同时出发，点 $D$沿折线 $\mathit{COB}$按 $C\to O\to B$方向向终点 $B$运动，点 $E$沿线段 $\mathit{BC}$按 $B\to C$方向向终点 $C$运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为 $t$秒，请解答下列问题：

①当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BDE}$的面积等于 $\frac{33}{10}$；

②在点 $D$、 $E$运动过程中，该抛物线上存在点 $F$，使得依次连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{DF}$、 $\mathit{FE}$、 $\mathit{EA}$得到的四边形 $\mathit{ADFE}$是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点 $F$的坐标．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2﹣2x+c（a\ne 0）$与x轴交于 $A、B（3，0）$两点，与y轴交于点 $C（0\mathit{，﹣}3）$，抛物线的顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；

（3）已知点M是x轴上的动点，过点M作x的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与 $△\mathit{BCD}$相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $\mathit{OBA}$可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $\mathit{OA}=8m$，桥拱顶点 $B$到水面的距离是 $4m$．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2m$的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$点 $0.4m$时，桥下水位刚好在 $\mathit{OA}$处，有一名身高 $1.68m$的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$，该抛物线在 $x$轴下方部分与桥拱 $\mathit{OBA}$在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m(m>0)$个单位长度，平移后的函数图象在 $8⩽x⩽9$时， $y$的值随 $x$值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$的取值范围．