初中数学二次函数的性质计算题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，规定：抛物线 $y=a{(x-h)}^2+k$的伴随直线为 $y=a(x-h)+k$．例如：抛物线 $y=2{(x+1)}^2-3$的伴随直线为 $y=2(x+1)-3$，即 $y=2x-1$．

（1）在上面规定下，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$的顶点坐标为　            　，伴随直线为　　                ，抛物线 $y={(x+1)}^2-4$与其伴随直线的交点坐标为　         　和　         　；

（2）如图，顶点在第一象限的抛物线 $y=m{(x-1)}^2-4m$与其伴随直线相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $x$轴交于点 $C$， $D$．

①若 $\angle \mathit{CAB}=90°$，求 $m$的值；

②如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上的一个动点， $\mathit{\Delta PBC}$的面积记为 $S$，当 $S$取得最大值 $\frac{27}{4}$时，求 $m$的值．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$的两边在坐标轴上，点 $A$的坐标为 $(10,0)$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$过点 $B$， $C$两点，且与 $x$轴的一个交点为 $D(-2,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{CB}$上的动点，设 $\mathit{CP}=t(0<t<10)$．

（1）请直接写出 $B$、 $C$两点的坐标及抛物线的解析式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{BC}$，交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{PBE}=\angle \mathit{OCD}$？

（3）点 $Q$是 $x$轴上的动点，过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{BQ}$，交 $\mathit{CQ}$于点 $M$，作 $\mathit{PN}//\mathit{CQ}$，交 $\mathit{BQ}$于点 $N$，当四边形 $\mathit{PMQN}$为正方形时，请求出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其对称轴交抛物线于点 $D$，交 $x$轴于点 $E$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OC}=6$．

（1）求抛物线的解析式及点 $D$的坐标；

（2）连接 $\mathit{BD}$， $F$为抛物线上一动点，当 $\angle \mathit{FAB}=\angle \mathit{EDB}$时，求点 $F$的坐标；

（3）平行于 $x$轴的直线交抛物线于 $M$、 $N$两点，以线段 $\mathit{MN}$为对角线作菱形 $\mathit{MPNQ}$，当点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{PQ}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，求菱形对角线 $\mathit{MN}$的长．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

已知点 $A(-1,1)$、 $B(4,6)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$上，

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $F$的坐标为 $(0$， $m\left)\right(m>2)$，直线 $\mathit{AF}$交抛物线于另一点 $G$，过点 $G$作 $x$轴的垂线，垂足为 $H$．设抛物线与 $x$轴的正半轴交于点 $E$，连接 $\mathit{FH}$、 $\mathit{AE}$，求证： $\mathit{FH}//\mathit{AE}$；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$分别交 $x$轴、 $y$轴于 $C$、 $D$两点．点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$个单位长度；同时点 $Q$从原点 $O$出发，沿 $x$轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点 $M$是直线 $\mathit{PQ}$与抛物线的一个交点，当运动到 $t$秒时， $\mathit{QM}=2\mathit{PM}$，直接写出 $t$的值．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(1,0)$， $B(m,0)$，与 $y$轴交于 $C$．

（1）若 $m=-3$，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交 $x$轴于 $D$，在对称轴左侧的抛物线上有一点 $E$，使 $S_{\mathit{\Delta ACE}}=\frac{10}{3}{S}_{\mathit{\Delta ACD}}$，求点 $E$的坐标；

（3）如图2，设 $F(-1,-4)$， $\mathit{FG}\perp y$轴于 $G$，在线段 $\mathit{OG}$上是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{OBP}=\angle \mathit{FPG}$？若存在，求 $m$的取值范围；若不存在，请说明理由．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2+(k-5)x+1-k=0$，其中 $k$为常数．

（1）求证：无论 $k$为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y=x^2+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限，求 $k$的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$的最大整数值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+c$过点 $(-2,2)$， $(4,5)$，过定点 $F(0,2)$的直线 $l:y=\mathit{kx}+2$与抛物线交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，过点 $B$作 $x$轴的垂线，垂足为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $B$在抛物线上运动时，判断线段 $\mathit{BF}$与 $\mathit{BC}$的数量关系 $(>$、 $<$、 $=)$，并证明你的判断；

（3） $P$为 $y$轴上一点，以 $B$、 $C$、 $F$、 $P$为顶点的四边形是菱形，设点 $P(0,m)$，求自然数 $m$的值；

（4）若 $k=1$，在直线 $l$下方的抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta QBF}$的面积最大？若存在，求出点 $Q$的坐标及 $\mathit{\Delta QBF}$的最大面积；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=-x^2+4x+5$图象的顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，一次函数 $y=\frac{2}{5}x+1$的图象与 $x$轴交于点 $A$，且与直线 $\mathit{DA}$关于 $l$的对称直线交于点 $B$．

（1）点 $D$的坐标是　         　；

（2）直线 $l$与直线 $\mathit{AB}$交于点 $C$， $N$是线段 $\mathit{DC}$上一点（不与点 $D$、 $C$重合），点 $N$的纵坐标为 $n$．过点 $N$作直线与线段 $\mathit{DA}$、 $\mathit{DB}$分别交于点 $P$、 $Q$，使得 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似．

①当 $n=\frac{27}{5}$时，求 $\mathit{DP}$的长；

②若对于每一个确定的 $n$的值，有且只有一个 $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DAB}$相似，请直接写出 $n$的取值范围　          　．

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4(a>0)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $(A$在 $B$左侧，且 $\mathit{OA}<\mathit{OB})$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求 $C$点坐标，并判断 $b$的正负性；

（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，已知 $\mathit{DC}:\mathit{CA}=1:2$，直线 $\mathit{BD}$与 $y$轴交于点 $E$，连接 $\mathit{BC}$．

①若 $\mathit{\Delta BCE}$的面积为8，求二次函数的解析式；

②若 $\mathit{\Delta BCD}$为锐角三角形，请直接写出 $\mathit{OA}$的取值范围．

已知二次函数 $y=a{x}^2-4\mathit{ax}+c(a<0)$的图象与它的对称轴相交于点 $A$，与 $y$轴相交于点 $C(0,-2)$，其对称轴与 $x$轴相交于点 $B$

（1）若直线 $\mathit{BC}$与二次函数的图象的另一个交点 $D$在第一象限内，且 $\mathit{BD}=\sqrt{2}$，求这个二次函数的表达式；

（2）已知 $P$在 $y$轴上，且 $\mathit{\Delta POA}$为等腰三角形，若符合条件的点 $P$恰好有2个，试直接写出 $a$的值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，二次函数图象的顶点坐标为 $(4,-3)$，该图象与 $x$轴相交于点 $A$、 $B$，与 $y$轴相交于点 $C$，其中点 $A$的横坐标为1．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求 $\tan \angle \mathit{ABC}$．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$坐标为 $(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$在抛物线上，且满足 $\angle \mathit{PAB}=2\angle \mathit{ACO}$．求点 $P$的坐标；

（3）如图②，点 $Q$为 $x$轴下方抛物线上任意一点，点 $D$是抛物线对称轴与 $x$轴的交点，直线 $\mathit{AQ}$、 $\mathit{BQ}$分别交抛物线的对称轴于点 $M$、 $N$．请问 $\mathit{DM}+\mathit{DN}$是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．