初中数学二次函数的性质计算题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=\frac{1}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $C$两点，与 $x$轴的另一交点为点 $B$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$为直线 $\mathit{AC}$上方抛物线上一动点，

①连接 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$，设直线 $\mathit{BD}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BCE}$的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$的最大值；

②过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{CD}$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta CDF}$中的某个角恰好等于 $\angle \mathit{BAC}$的2倍？若存在，求点 $D$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的横坐标分别为 $\mathit{a}$、 $\mathit{a}\mathit{+}\mathit{2}$，二次函数 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{m}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{)}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}\mathit{m}$的图象经过点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$，且 $\mathit{a}$、 $\mathit{m}$满足 $\mathit{2}\mathit{a}\mathit{-}\mathit{m}\mathit{=}\mathit{d}\mathit{(}\mathit{d}$为常数）．

（1）若一次函数 ${\mathit{y}}_{\mathit{1}}\mathit{=}\mathit{kx}\mathit{+}\mathit{b}$的图象经过 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点．

①当 $\mathit{a}\mathit{=}\mathit{1}$、 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}$时，求 $\mathit{k}$的值；

②若 $\mathit{y}$随 $\mathit{x}$的增大而减小，求 $\mathit{d}$的取值范围；

（2）当 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{4}$且 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{2}$、 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{4}$时，判断直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{x}$轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的位置随着 $\mathit{a}$的变化而变化，设点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$运动的路线与 $\mathit{y}$轴分别相交于点 $\mathit{C}$、 $\mathit{D}$，线段 $\mathit{CD}$的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $\mathit{CD}$的长；如果变化，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2-2x-3$交 $x$轴于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），将该抛物线位于 $x$轴上方曲线记作 $M$，将该抛物线位于 $x$轴下方部分沿 $x$轴翻折，翻折后所得曲线记作 $N$，曲线 $N$交 $y$轴于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求曲线 $N$所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆的半径；

（3）点 $P$为曲线 $M$或曲线 $N$上的一动点，点 $Q$为 $x$轴上的一个动点，若以点 $B$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $Q$的坐标．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．点 $D$在函数图象上， $\mathit{CD}//x$轴，且 $\mathit{CD}=2$，直线 $l$是抛物线的对称轴， $E$是抛物线的顶点．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图①，连接 $\mathit{BE}$，线段 $\mathit{OC}$上的点 $F$关于直线 $l$的对称点 $F^{\text{'}}$恰好在线段 $\mathit{BE}$上，求点 $F$的坐标；

（3）如图②，动点 $P$在线段 $\mathit{OB}$上，过点 $P$作 $x$轴的垂线分别与 $\mathit{BC}$交于点 $M$，与抛物线交于点 $N$．试问：抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta PQN}$与 $\mathit{\Delta APM}$的面积相等，且线段 $\mathit{NQ}$的长度最小？如果存在，求出点 $Q$的坐标；如果不存在，说明理由．

已知直线 $y=\mathit{kx}+b$与抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，垂足为 $D$．

（1）若 $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=2$，求 $a$的值；

（2）若 $\angle \mathit{AOB}=90°$，点 $A$的横坐标为 $-4$， $\mathit{AC}=4\mathit{BC}$，求点 $B$的坐标；

（3）延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BO}$相交于点 $E$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{CO}$．

已知函数 $y=-x^2+(m-1)x+m(m$为常数）．

（1）该函数的图象与 $x$轴公共点的个数是　     　．

$A.0$      $B.1$       $C.2$       $D.1$或2

（2）求证：不论 $m$为何值，该函数的图象的顶点都在函数 $y={(x+1)}^2$的图象上．

（3）当 $-2⩽m⩽3$时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$，点 $B$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$作匀速运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，在线段 $\mathit{OB}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $B$作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．连接 $\mathit{PQ}$．

（1）填空： $b=$　     　， $c=$　      　；

（2）在点 $P$， $Q$运动过程中， $\mathit{\Delta APQ}$可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在 $x$轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta PQM}$是以点 $P$为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 $t$；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点 $N$的坐标为 $(-\frac{3}{2}$， $0)$，线段 $\mathit{PQ}$的中点为 $H$，连接 $\mathit{NH}$，当点 $Q$关于直线 $\mathit{NH}$的对称点 $Q\text{'}$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出点 $Q\text{'}$的坐标．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(4,0)$，顶点为 $B$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BO}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$是 $\mathit{BO}$的中点，点 $Q$在线段 $\mathit{AB}$上，设点 $B$关于直线 $\mathit{CQ}$的对称点为 $B^{\text{'}}$，当 $\mathit{\Delta OC}{B}^{\text{'}}$为等边三角形时，求 $\mathit{BQ}$的长度；

（3）若点 $D$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{OD}=2\mathit{DB}$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{\Delta OAB}$的边上，且满足 $\mathit{\Delta DOF}$与 $\mathit{\Delta DEF}$全等，求点 $E$的坐标．

如图1，二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），其对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $C$，它的顶点为点 $D$．

（1）写出点 $D$的坐标　      　．

（2）点 $P$在对称轴 $l$上，位于点 $C$上方，且 $\mathit{CP}=2\mathit{CD}$，以 $P$为顶点的二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $A$．

①试说明二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $B$；

②点 $R$在二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象上，到 $x$轴的距离为 $d$，当点 $R$的坐标为　    　时，二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象上有且只有三个点到 $x$轴的距离等于 $2d$；

③如图2，已知 $0<m<2$，过点 $M(0,m)$作 $x$轴的平行线，分别交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$、 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$（点 $E$、 $G$在对称轴 $l$左侧），过点 $H$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $N$，交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象于点 $Q$，若 $\mathit{\Delta GHN}\backsim \mathit{\Delta EHQ}$，求实数 $m$的值．

如图1，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(-1,3)$，顶点 $B$的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$在该二次函数的图象上，点 $Q$在 $x$轴上，若以 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与该二次函数的图象交于 $O$、 $C$两点，点 $T$为该二次函数图象上位于直线 $\mathit{OC}$下方的动点，过点 $T$作直线 $\mathit{TM}\perp \mathit{OC}$，垂足为点 $M$，且 $M$在线段 $\mathit{OC}$上（不与 $O$、 $C$重合），过点 $T$作直线 $\mathit{TN}//y$轴交 $\mathit{OC}$于点 $N$．若在点 $T$运动的过程中， $\frac{O{N}^2}{\mathit{OM}}$为常数，试确定 $k$的值．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-\sqrt{3})$， $C(2,0)$，其对称轴与 $x$轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$为 $y$轴上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{PB}+\mathit{PD}$的最小值为　      　；

（3） $M(x,t)$为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$共有　　个；

②连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{MB}$，若 $\angle \mathit{AMB}$不小于 $60°$，求 $t$的取值范围．

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．