如图，在平面直角坐标系中，直线y12x2与x轴交于点A，与y

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过 $A$ 、 $C$ 两点，与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$ 为直线 $AC$ 上方抛物线上一动点，

①连接 $BC$ 、 $CD$ ，设直线 $BD$ 交线段 $AC$ 于点 $E$ ， $ΔCDE$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔBCE$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值；

②过点 $D$ 作 $DF ⊥ AC$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $CD$ ，是否存在点 $D$ ，使得 $ΔCDF$ 中的某个角恰好等于 $∠ BAC$ 的2倍？若存在，求点 $D$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

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如图①，菱形 $ABCD$ 中， $AB = 5 cm$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $BC - CD - DA$ 运动到点 $A$ 停止，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 运动到点 $B$ 停止，它们运动的速度相同，设点 $P$ 出发 $xs$ 时， $ΔBPQ$ 的面积为 $yc m^{2}$ ．已知 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图②所示，其中 $OM$ 、 $MN$ 为线段，曲线 $NK$ 为抛物线的一部分．请根据图中的信息，解答下列问题：

（1）当 $1 < x < 2$ 时， $ΔBPQ$ 的面积　　（填“变”或“不变” $)$ ；

（2）分别求出线段 $OM$ ，曲线 $NK$ 所对应的函数表达式；

（3）当 $x$ 为何值时， $ΔBPQ$ 的面积是 $5 c m^{2}$ ？

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如图，已知 $AC ⊥ BC$ ，垂足为 $C$ ， $AC = 4$ ， $BC = 3 \sqrt{3}$ ，将线段 $AC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到线段 $AD$ ，连接 $DC$ ， $DB$ ．

（1）线段 $DC =$ 　　；

（2）求线段 $DB$ 的长度．

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（1）解方程： $\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 1}$

（2）解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x > 0 \\ \frac{x + 1}{2} > \frac{2 x - 1}{3} \end{matrix}$ ．

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计算：

（1） ${(- 2)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2017^{0}$

（2） $(1 + \frac{4}{x - 2}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 4 x + 4}$ ．

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如图，已知矩形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ， $AD = m$ ，动点 $P$ 从点 $D$ 出发，在边 $DA$ 上以每秒1个单位的速度向点 $A$ 运动，连接 $CP$ ，作点 $D$ 关于直线 $PC$ 的对称点 $E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t (s)$ ．

（1）若 $m = 6$ ，求当 $P$ ， $E$ ， $B$ 三点在同一直线上时对应的 $t$ 的值．

（2）已知 $m$ 满足：在动点 $P$ 从点 $D$ 到点 $A$ 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$ ，使点 $E$ 到直线 $BC$ 的距离等于3，求所有这样的 $m$ 的取值范围．

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