初中数学反比例函数综合题试题

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

如图，在直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=1$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过 $\mathit{BC}$边的中点 $D(3,1)$．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta EFG}$成中心对称，且 $\mathit{\Delta EFG}$的边 $\mathit{FG}$在 $y$轴的正半轴上，点 $E$在这个函数的图象上．

①求 $\mathit{OF}$的长；

②连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$，证明四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形．

定义：点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$内部或边上的点（顶点除外），在 $\mathit{\Delta PAB}$， $\mathit{\Delta PBC}$， $\mathit{\Delta PCA}$中，若至少有一个三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，则称点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

例如：如图1，点 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部， $\angle \mathit{PBC}=\angle A$， $\angle \mathit{BCP}=\angle \mathit{ABC}$，则 $\mathit{\Delta BCP}\backsim \mathit{\Delta ABC}$，故点 $P$是 $\mathit{\Delta ABC}$的自相似点．

请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：

在平面直角坐标系中，点 $M$是曲线 $y=\frac{3\sqrt{3}}{x}(x>0)$上的任意一点，点 $N$是 $x$轴正半轴上的任意一点．

（1）如图2，点 $P$是 $\mathit{OM}$上一点， $\angle \mathit{ONP}=\angle M$，试说明点 $P$是 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点；当点 $M$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $3)$，点 $N$的坐标是 $(\sqrt{3}$， $0)$时，求点 $P$的坐标；

（2）如图3，当点 $M$的坐标是 $(3,\sqrt{3})$，点 $N$的坐标是 $(2,0)$时，求 $\mathit{\Delta MON}$的自相似点的坐标；

（3）是否存在点 $M$和点 $N$，使 $\mathit{\Delta MON}$无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $y$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=3$， $A(2,1)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过的 $B$．

（1）求点 $B$的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴的正半轴交于 $M$， $N$两点，若点 $O$和点 $B$关于直线 $\mathit{MN}$成轴对称，求线段 $\mathit{ON}$的长；

（3）如图3，将线段 $\mathit{OA}$延长交 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $D$，过 $B$， $D$的直线分别交 $x$轴、 $y$轴于 $E$， $F$两点，请探究线段 $\mathit{ED}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{OABC}$中， $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OC}=2$， $F$是 $\mathit{AB}$上的一个动点 $(F$不与 $A$， $B$重合），过点 $F$的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象与 $\mathit{BC}$边交于点 $E$．

（1）当 $F$为 $\mathit{AB}$的中点时，求该函数的解析式；

（2）当 $k$为何值时， $\mathit{\Delta EFA}$的面积最大，最大面积是多少？

如图，反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$的坐标为 $(2,6)$，点 $B$的坐标为 $(n,1)$．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点 $E$为 $y$轴上一个动点，若 $S_{\mathit{\Delta AEB}}=5$，求点 $E$的坐标．

如图，在直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象交于关于原点对称的 $A$， $B$两点，已知 $A$点的纵坐标是3．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 $C$，如果 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为48，求平移后的直线的函数表达式．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=5$，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(1,4)$．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$的坐标；

（2）如图2，过 $\mathit{BC}$的中点 $D$作 $\mathit{DP}//x$轴交反比例函数图象于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$．

①求 $\mathit{\Delta AOP}$的面积；

②在 $▱\mathit{OABC}$的边上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta POM}$是以 $\mathit{PO}$为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，一次函数 $y=-x+b$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于点 $A(1,3)$， $B(m,1)$，与 $x$轴交于点 $D$，直线 $\mathit{OA}$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象的另一支交于点 $C$，过点 $B$作直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $E$是点 $D$关于直线 $l$的对称点．

（1） $k=$　     　；

（2）判断点 $B$、 $E$、 $C$是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点 $F$在 $x$轴正半轴上， $\mathit{OF}=\frac{3}{2}$，点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象位于第一象限部分上的点（点 $P$在点 $A$的上方）， $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{EBF}$，则点 $P$的坐标为 $($　　，　　 $)$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp x$轴，垂足为 $A$．反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $D$．已知 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=\frac{5}{2}$．

（1）若 $\mathit{OA}=4$，求 $k$的值；

（2）连接 $\mathit{OC}$，若 $\mathit{BD}=\mathit{BC}$，求 $\mathit{OC}$的长．

如图，已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x<0)$的图象交于点 $B(-2,n)$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp x$轴于点 $C$，点 $D(3-3n,1)$是该反比例函数图象上一点．

（1）求 $m$的值；

（2）若 $\angle \mathit{DBC}=\angle \mathit{ABC}$，求一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的表达式．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象交于点 $B(2,n)$，过点 $B$作 $\mathit{BC}\perp x$轴于点 $C$，点 $P(3n-4,1)$是该反比例函数图象上的一点，且 $\angle \mathit{PBC}=\angle \mathit{ABC}$，求反比例函数和一次函数的表达式．

如图，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $C(3,0)$，函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象经过 $▱\mathit{OABC}$的顶点 $A(m,n)$和边 $\mathit{BC}$的中点 $D$．

（1）求 $m$的值；

（2）若 $\mathit{\Delta OAD}$的面积等于6，求 $k$的值；

（3）若 $P$为函数 $y==\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象上一个动点，过点 $P$作直线 $l\perp x$轴于点 $M$，直线 $l$与 $x$轴上方的 $▱\mathit{OABC}$的一边交于点 $N$，设点 $P$的横坐标为 $t$，当 $\frac{\mathit{PN}}{\mathit{PM}}=\frac{1}{4}$时，求 $t$的值．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $A$在第四象限 $y_1=-\frac{2}{x}$的图象上，点 $B$在第一象限 $y_2=\frac{k}{x}$的图象上， $\mathit{AB}$交 $x$轴于点 $E$，点 $C$与点 $D$在 $y$轴上， $\mathit{AD}=\frac{3}{2}$， $S_{\mathit{矩形OCBE}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{矩形ODAE}}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）若点 $P$在 $x$轴上， $S_{\mathit{\Delta BPE}}=3$，求直线 $\mathit{BP}$的解析式．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象分别交于 $C$， $D$两点，点 $C(2,4)$，点 $B$是线段 $\mathit{AC}$的中点．

（1）求一次函数 $y=k_{1}x+b$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta COD}$的面积；

（3）直接写出当 $x$取什么值时， $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$．