如图，反比例函数ymx的图象与一次函数ykxb的图象交于A，

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度中等
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挑错有奖

如图，反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象与一次函数 $y = kx + b$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(2, 6)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(n, 1)$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）点 $E$ 为 $y$ 轴上一个动点，若 $S_{ΔAEB} = 5$ ，求点 $E$ 的坐标．

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企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）宣传小组抽取的捐款人数为　　人，请补全条形统计图；

（2）统计的捐款金额的中位数是　　元；

（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；

（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？

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如图，已知抛物线 $m : y = a x^{2} - 6 ax + c (a > 0)$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，并过点 $B (0, 1)$ ，直线 $n : y = - \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，与抛物线 $m$ 的对称轴 $l$ 交于点 $F$ ，过 $B$ 点的直线 $BE$ 与直线 $n$ 相交于点 $E (- 7, 7)$ ．

（1）求抛物线 $m$ 的解析式；

（2） $P$ 是 $l$ 上的一个动点，若以 $B$ ， $E$ ， $P$ 为顶点的三角形的周长最小，求点 $P$ 的坐标；

（3）抛物线 $m$ 上是否存在一动点 $Q$ ，使以线段 $FQ$ 为直径的圆恰好经过点 $D$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 和直线 $y = kx + b$ ，则点 $P$ 到直线 $y = kx + b$ 的距离证明可用公式 $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}}$ 计算．

例如：求点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $y = 3 x + 7$ 的距离．

解：因为直线 $y = 3 x + 7$ ，其中 $k = 3$ ， $b = 7$ ．

所以点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $y = 3 x + 7$ 的距离为： $d = \frac{| k x_{0} - y_{0} + b |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = \frac{| 3 \times (- 1) - 2 + 7 |}{\sqrt{1 + 3^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $P (1, - 1)$ 到直线 $y = x - 1$ 的距离；

（2）已知 $⊙ Q$ 的圆心 $Q$ 坐标为 $(0, 5)$ ，半径 $r$ 为2，判断 $⊙ Q$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系并说明理由；

（3）已知直线 $y = - 2 x + 4$ 与 $y = - 2 x - 6$ 平行，求这两条直线之间的距离．

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（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

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