如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp x$轴，垂足为 $A$．反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $D$．已知 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=\frac{5}{2}$．

（1）若 $\mathit{OA}=4$，求 $k$的值；

（2）连接 $\mathit{OC}$，若 $\mathit{BD}=\mathit{BC}$，求 $\mathit{OC}$的长．