初中数学反比例函数与一次函数的交点问题解答题

如图，函数 $y=\left\{\begin{array}{c}2x,(0⩽x⩽3)\\ -x+9,(x>3)\end{array}\right.$的图象与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$相交于点 $A(3,m)$和点 $B$．

（1）求双曲线的解析式及点 $B$的坐标；

（2）若点 $P$在 $y$轴上，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求当 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值最小时点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{4}{3}x-2$ 的图象与 $y$ 轴相交于点 $A$ ，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 在第一象限内的图象相交于点 $B(m,2)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BC}\perp y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$与反比例函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于 $A(m,4)$， $B(2,n)$两点，与坐标轴分别交于 $M$、 $N$两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出 $\mathit{kx}+b-\frac{4}{x}>0$中 $x$的取值范围；

（3）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象交于点 $A(-1,2)$， $B(m,-1)$．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）在 $x$轴上是否存在点 $P(n$， $0\left)\right(n>0)$，使 $\mathit{\Delta ABP}$为等腰三角形？若存在，求 $n$的值；若不存在，说明理由．

如图， $\mathit{\Delta AOB}$中， $\angle \mathit{ABO}=90°$，边 $\mathit{OB}$在 $x$轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过斜边 $\mathit{OA}$的中点 $M$，与 $\mathit{AB}$相交于点 $N$， $S_{\mathit{\Delta AOB}}=12$， $\mathit{AN}=\frac{9}{2}$．

（1）求 $k$的值；

（2）求直线 $\mathit{MN}$的解析式．

如图，在直角坐标系中，直线 $y_1=\mathit{ax}+b$与双曲线 $y_2=\frac{k}{x}(k\ne 0)$分别相交于第二、四象限内的 $A(m,4)$， $B(6,n)$两点，与 $x$轴相交于 $C$点．已知 $\mathit{OC}=3$， $\tan \angle \mathit{ACO}=\frac{2}{3}$．

（1）求 $y_1$， $y_2$对应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta AOB}$的面积；

（3）直接写出当 $x<0$时，不等式 $\mathit{ax}+b>\frac{k}{x}$的解集．

如图，直线 $y_1=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$与双曲线 $y_2=\frac{k}{x}(k\ne 0)$相交于 $A(-1,2)$和 $B(2,b)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求 $m$， $n$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta BCP}$与 $\mathit{\Delta OCD}$相似？若存在求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知一次函数 $y=-2x+8$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$两点，并与反比例函数 $y=\frac{8}{x}$的图象相切于点 $C$．

（1）切点 $C$的坐标是　　；

（2）若点 $M$为线段 $\mathit{BC}$的中点，将一次函数 $y=-2x+8$的图象向左平移 $m(m>0)$个单位后，点 $C$和点 $M$平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上时，求 $k$的值．

如图，已知一次函数 $y_1=\mathit{kx}+b$的图象与反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象交于点 $A(-4,m)$，且与 $y$轴交于点 $B$，第一象限内点 $C$在反比例函数 $y_2=\frac{4}{x}$的图象上，且以点 $C$为圆心的圆与 $x$轴， $y$轴分别相切于点 $D$， $B$

（1）求 $m$的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当 $y_1<y_2<0$时，写出 $x$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 $O$是菱形 $\mathit{ABCD}$的对称中心．边 $\mathit{AB}$与 $x$轴平行，点 $B(1,-2)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象经过 $A$， $C$两点．

（1）求点 $C$的坐标及反比例函数的解析式．

（2）直线 $\mathit{BC}$与反比例函数图象的另一交点为 $E$，求以 $O$， $C$， $E$为顶点的三角形的面积．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与坐标轴分别交于 $A$、 $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{n}{x}$的图象在第一象限的交点为 $C$， $\mathit{CD}\perp x$轴，垂足为 $D$，若 $\mathit{OB}=3$， $\mathit{OD}=6$， $\mathit{\Delta AOB}$的面积为3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）直接写出当 $x>0$时， $\mathit{kx}+b-\frac{n}{x}<0$的解集．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上，顶点 $C$的坐标为 $(1,\sqrt{3})$．

（1）求图象过点 $B$的反比例函数的解析式；

（2）求图象过点 $A$， $B$的一次函数的解析式；

（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量 $x$的取值范围．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．