初中数学试题

在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　　．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，连接对角线 $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $M$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$交于点为 $N$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{AD}$交于点 $O$，分别延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$于点 $G$，设 $\mathit{AB}=3$．有以下结论：

① $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$

② $\mathit{MN}=2\sqrt{3}$

③ $\mathit{\Delta DAG}$的重心、内心及外心均是点 $M$

④四边形 $\mathit{FACD}$绕点 $O$逆时针旋转 $30°$与四边形 $\mathit{ABDE}$重合

则所有正确结论的序号是 　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AD}=\mathit{AB}=1$， $\mathit{DC}=\sqrt{5}$，以 $A$为圆心， $\mathit{AD}$为半径作圆，延长 $\mathit{CD}$交 $\odot A$于点 $F$，延长 $\mathit{DA}$交 $\odot A$于点 $E$，连结 $\mathit{BF}$，交 $\mathit{DE}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$为 $\odot A$的切线；

（2）求 $\cos \angle \mathit{EDF}$的值；

（3）求线段 $\mathit{BG}$的长．

如图，一次函数 $y=2x$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $M$在以 $C(2,0)$为圆心，半径为1的 $\odot C$上， $N$是 $\mathit{AM}$的中点，已知 $\mathit{ON}$长的最大值为 $\frac{3}{2}$，则 $k$的值是 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\angle B=30°$，求 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{DE}}$的值．

如图．在边长为6的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{BC}=3\mathit{BE}$且 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$， $\mathit{AE}\perp \mathit{BF}$，垂足为 $G$， $O$是对角线 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{OG}$、则 $\mathit{OG}$的长为 　　．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴相交于 $A(-3,0)$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C(0,2)$，对称轴是直线 $x=-1$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点 $B$的直线 $l$与抛物线相交于另一点 $D$，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BAC}$时，求直线 $l$的表达式；

（3）在（2）的条件下，当点 $D$在 $x$轴下方时，连接 $\mathit{AD}$，此时在 $y$轴左侧的抛物线上存在点 $P$，使 $S_{\mathit{\Delta BDP}}=\frac{3}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$．请直接出所有符合条件的点 $P$的坐标．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=12$ ， $D$ 为 $\mathit{AC}$ 边上的一个动点，连接 $\mathit{BD}$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BCE}$ 时，线段 $\mathit{AE}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

1

D．

$\frac{1}{2}$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}\ne \mathit{CD}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$上，且 $\mathit{EF}//\mathit{CD}$， $\mathit{AB}=\mathit{AF}$， $\mathit{CD}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{CF}\perp \mathit{FB}$；

（2）求证：以 $\mathit{AD}$为直径的圆与 $\mathit{BC}$相切；

（3）若 $\mathit{EF}=2$， $\angle \mathit{DFE}=120°$，求 $\mathit{\Delta ADE}$的面积．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$．点 $D$为平面上一个动点， $\angle \mathit{ADB}=45°$，则线段 $\mathit{CD}$长度的最小值为 　　．

设 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 为抛物线 $y=x^2$ 上的两个动点，且 $\mathit{OA}\perp \mathit{OB}$ ．连接点 $A$ 、 $B$ ，过 $O$ 作 $\mathit{OC}\perp \mathit{AB}$ 于点 $C$ ，则点 $C$ 到 $y$ 轴距离的最大值 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

1

问题解决：如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\mathit{DE}\perp \mathit{AF}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是正方形；

（2）延长 $\mathit{CB}$ 到点 $H$ ，使得 $\mathit{BH}=\mathit{AE}$ ，判断 $\mathit{\Delta AHF}$ 的形状，并说明理由．

类比迁移：如图2，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 边上， $\mathit{DE}$ 与 $\mathit{AF}$ 相交于点 $G$ ， $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ， $\angle \mathit{AED}=60°$ ， $\mathit{AE}=6$ ， $\mathit{BF}=2$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．