高中数学试题

设抛物线 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{y}^2=4x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k(k>0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $\left|\mathit{AB}\right|\hspace{0.33em}=8$ ．

（1）求 $l$ 的方程；

（2）求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．

   为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2},即\alpha =\frac{\pi }{6}$ ）建立模型①： $\stackrel{̂}{y}=-30.4+13.5t$ ；根据2010年至2016年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为 $\left\{\begin{array}{c}x\ge 2\\ x-2+2x-2>2\end{array}\right.$ ）建立模型②： $\stackrel{̂}{y}=99+17.5t$ ．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 ， ．

（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）求 $S_n$ ，并求 $S_n$ 的最小值．

已知圆锥的顶点为 $S$，母线 $\mathit{SA}$， $\mathit{SB}$所成角的余弦值为 $\frac{7}{8}$， $\mathit{SA}$与圆锥底面所成角为45°，若 $△\mathit{SAB}$的面积为 $5\sqrt{15}$，则该圆锥的侧面积为__________．

已知 $\mathit{sin}\alpha +\mathit{cos}\beta =1$， $\mathit{cos}\alpha +\mathit{sin}\beta =0$，则__________．

若 $x,\mathit{\hspace{0.33em}y}$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+2y-5\ge 0,\\ x-2y+3\ge 0,\\ x-5\le 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x+y$的最大值为__________．

曲线 $y=2\mathit{ln}(x+1)$在点 $(0,\hspace{0.33em}0)$处的切线方程为__________．

已知 $F_1$ ， $F_2$ 是椭圆 $C：\mathit{\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\hspace{0.33em}(a>b>0)$ 的左，右焦点， $A$ 是 $C$ 的左顶点，点 $P$ 在过 $A$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 的直线上， $△P{F}_1{F}_2$ 为等腰三角形， $\angle F_1{F}_{2}P=120°$ ，则 $C$ 的离心率为（    ）

A．

$\frac{2}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{1}{4}$

已知 $f\left(x\right)$ 是定义域为 $(-\infty ,+\infty )$ 的奇函数,满足 $f(1-x)=f(1+x)$ .若 $f\left(1\right)=2$ ，则 $f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(3\right)+\cdots +f\left(50\right)=$ （    ）

A．

$-50$

B．

$0$

C．

$2$

D．

$50$

若 $f\left(x\right)=\text{cos}x-\text{sin}x$ 在 $\left[-a,\mathit{\hspace{0.33em}a}\right]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是（    ）

A．

$\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\frac{3\pi }{4}$

D．

$\pi$

在长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $A{A}_1=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A{D}_1$ 与 $D{B}_1$ 所成角的余弦值为（    ）

A．

$\frac{1}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"，如 $30=7+23$ ．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）

A．

$\frac{1}{12}$

B．

$\frac{1}{14}$

C．

$\frac{1}{15}$

D．

$\frac{1}{18}$

为计算 $S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$ ，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（    ）

A．	$i=i+1$
B．	$i=i+2$
C．	$i=i+3$
D．	$i=i+4$

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{cos}\frac{C}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ,BC=1,AC=5，则AB=（    ）

A．

$4\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{30}$

C．

$\sqrt{29}$

D．

$2\sqrt{5}$

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则其渐近线方程为（    ）

A．

B．

$y=\pm \sqrt{3}x$

C．

$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$

D．

$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}x$