高中数学解答题

如图，在多面体中，平面，，且是边长为的等边三角形，，与平面所成角的正弦值为．

（Ⅰ）若是线段的中点，证明：面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

在中，分别为内角的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）设函数，当取最大值时，判断的形状．

如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，BB₁＝BC＝6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．

（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E­BCD的体积．

某校从高三年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50），[50,60），…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高三年级共有学生640名，试估计该校高三年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[40,50）与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且S_n＝2a_n－2n对n∈N^*成立．
（1）证明数列{a_n＋2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和T_n ．

已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）解不等式：；
（3）若当时，对所有的恒成立，求实数m的取值范围.

在平面直角坐标系中，为坐标原点，以为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与圆交于，两点，在圆上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线的斜率；若不存在，说明理由．

已知等差数列的各项互不相等，前两项的和为10，设向量，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求证：

在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，圆过点与点，且圆心到抛物线的准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由．

已知双曲线的焦距为，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线与双曲线交于不同的两点，如果能都在以点为圆心的同一个圆上，求实数的取值范围．

已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若在上是单调增函数，求实数a的取值范围．

已知椭圆的焦点分别为F₁（，0）、F₂（，0），长轴长为6，设直线交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求的面积．

正项数列{a_n}满足-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）令b_n=,求数列{b_n}的前n项和T_n．

如图，在平面直角坐标系中，圆交轴于点（点在轴的负半轴上），点为圆上一动点，分别交直线于两点。

（1）求两点纵坐标的乘积；
（2）若点的坐标为，连接交圆于另一点．
①试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由；
②记的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：

（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；
（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．