高中数学一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式试题

（本小题满分13分）
若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”．
（Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和；
（Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，.

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分．
如果数列同时满足：（1）各项均为正数，（2）存在常数k, 对任意都成立，那么，这样的数列我们称之为“类等比数列” .由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” .问：
（1）若数列为“类等比数列”，且k＝(a₂－a₁)²，求证：a₁、a₂、a₃成等差数列；
（2）若数列为“类等比数列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差数列，求的值；
（3）若数列为“类等比数列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b为常数)，是否存在常数λ，使得对任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，说明理由．

已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.
（1）对任意实数，求证：不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.
（3）设为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

已知数列的前项和为，，且（为正整数）
（1）求数列的通项公式；
（2）对任意正整数，是否存在,使得恒成立？若存在，求是实数的最大值；若不存在，说明理由.

设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记．
（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，证明：；
（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．

已知数列满足，，()
（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.

已知数列的前项和为满足.
（1）函数与函数互为反函数，令，求数列的前项和；
（2）已知数列满足，证明:对任意的整数，有.

在数列中，.从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列.例如数列、、、为的一个项子列.
（1）试写出数列的一个项子列，并使其为等差数列；
（2）如果为数列的一个项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；
（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：
.

已知数列前项和为，向量与，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的前项和，不等式对任意的正整数恒成立，求的取值范围．

已知数列{a_n}中，a₁＝2，n∈N^*，a_n＞0，数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n＋1＝.
(1)求{S_n}的通项公式；
(2)设{b_k}是{S_n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b₃；
②存在N(N∈N^*)，当n≤N时，使得在{S_n}中，数列{b_k}有且只有20项，求N的范围．

已知数列{a_n}满足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)若对每一个正整数k，若将a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k.①求p的值及对应的数列{d_k}．
②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

如图是见证魔术师“论证”64＝65飞神奇．对这个乍看起来颇为神秘的现象，我们运用数学知识不难发现其中的谬误．另外，我们可以更换图中的数据，就能构造出许多更加直观与“令人信服”的“论证”．

请你用数列知识归纳：(1)这些图中的数所构成的数列：________；(2)写出与这个魔术关联的一个数列递推关系式：________.

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
　　已知，且，，数列、满足，，，．
(1) 求证数列是等比数列；
(2) (理科)求数列的通项公式；
(3) (理科)若满足，，，试用数学归纳法证明：
．