高中数学空间向量的应用试题

已知:如图，等腰直角三角形的直角边，沿其中位线将平面折起，使平面⊥平面，得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、.

（1）求证：、、、四点共面；
（2）求证：平面平面；
（3）求异面直线与所成的角.

如图，长方体中，，点为的中点．

（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求与平面所成的角大小.

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，求证：平面平面.

如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，,是边长为2的等边三角形，,.

（Ⅰ）求证：底面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．

（）如图，四棱锥中，平面，底面是平行四边形，,是的中点

（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）试在线段上确定一点，使，求三棱锥的体积．

如图，四棱锥中，底面为梯形,∥, ，平面,为的中点

（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值

在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，，点在线段上，且．

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．

已知四棱锥的三视图和直观图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．

(1)求证：；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， ，直线B₁C与平面ABC成45°角。

(1)求证：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
(2)求二面角A—B₁C—B的余弦值.

如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.

（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）设点在线段上，且，试在线段上确定一点，使得平面.

如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

如图在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，

(1)求证：BC⊥PA
(2)求点C到平面PAB的距离

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．

（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有；
（Ⅱ）设，当平面EDC平面SBC时，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角的大小．

如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为.

（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为，求的长.