高中数学数列综合解答题

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ ， $a_1=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_n$ ．

（1）若 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，且 $a_4=15$ ，求 $S_n$ ；

（2）若 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，且 $\underset{x\to \infty }{\lim }{s}_n<12$ ，求公比 $q$ 的取值范围．

定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".

（1）已知等比数列{ a _n} $(n\in N^{*})$ 满足： $a_2{a}_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$ ，求证:数列{ a _n}为"M－数列"；

（2）已知数列{ b _n}满足: $b_1=1,\frac{1}{S_n}=\frac{2}{b_n}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 S _n为数列{ b _n}的前 n项和．

①求数列{ b _n}的通项公式；

②设 m为正整数，若存在"M－数列"{ c _n} $(n\in N^{*})$ ，对任意正整数 k ，当 k≤ m时，都有 $c_k⩽b_k⩽c_{k+1}$ 成立，求 m的最大值．

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+2ⁿ．
（1）设b_n=，证明：数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n，
（3）设c_n=，求数列{c_n}的最大项．

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₂=4，a₃+a₄=17．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^an+2，证明数列{b_n}是等比数列并求其前n项和T_n．

已知公差不为零的等差数列{a_n}，若a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2ⁿ，求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n．

数列满足，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和．

已知等差数列的各项互不相等，前两项的和为10，设向量，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求证：

已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，求证：．

已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，求．

已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，且成等比数列
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和为．

已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式;
（2）若，，且数列的前项和为，求的取值范围．

正项数列｛｝的前n项和为S_n，q为非零常数．已知对任意正整数n， m，当时总成立．
（1）求证：数列｛｝是等比数列；
（2）若互不相等的正整数n， m， k成等差数列，比较的大小；
（3）（限理科生做，文科生不做）若正整数n， m， k成等差数列，求证：＋≥．

已知等差数列的前n项和为，，正项数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对一切正整数n均成立，求实数的取值范围．

设数列数列的前项和为，，，
（1）求证：是等差数列；
（2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值．

设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）令求数列的前项和．