高中数学试题

已知函数．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）记函数图象为曲线，设点，是曲线上不同的两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点．试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由．

如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）试问：..，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

各项均为正数的数列{a_n}中，设，，且，．
（1）设，证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设，求集合．

各项均为正数的数列对一切均满足．证明：
（1）；
（2）．

已知函数在时取得极小值．
（1）求实数的值；
（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出，的值；
若不存在，说明理由．

已知函数其中a是实数．设，为该函数图象上的两点，且．
（1）指出函数f(x)的单调区间;
（2）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且，求的最小值;
（3）若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

已知函数．
（1）讨论f(x)在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞)时，曲线上总存在相异的两点，使得曲线在点P，Q处的切线互相平行，求证：．

已知函数．
(1)若直线与的反函数的图象相切，求实数k的值;
(2)设，讨论曲线与曲线公共点的个数;
(3)设，比较与的大小，并说明理由．

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a₁，a₂， ，a_m和正数b₁，b₂， ，
b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差数列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比数列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此时m的值；
（3）求证：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

已知函数()
（1）若在点处的切线方程为，求的解析式及单调递减区间；
（2）若在上存在极值点，求实数的取值范围．

已知函数
（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m的取值范围；（e为自然对数的底数）
（2）如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证：（其中正常数）.

已知椭圆C的两个焦点分别为，且点在椭圆C上，又.
（1）求焦点F₂的轨迹的方程；
（2）若直线与曲线交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围.

如图，已知四棱锥的底面的菱形，，点是边的中点，交于点，

（1）求证：；
（2）若的大小；
（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值。

如图，已知椭圆的左、右焦点分别
为，其上顶点为已知是边长为的正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于两点，记．若在线段上取一点，使得，当直线运动时，点在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．

已知函数.
（1）试判断函数的单调性；
（2）设，求在上的最大值；
（3）试证明：对任意，不等式都成立（其中是自然对数的底数）．