2010年全国统一高考数学试卷（江苏卷）

设集合 $A=\{-1,1,3\}$ ， $B=\{a+2,a^2+4\}$ , $A\cap B=\left\{3\right\}$ ，则实数 $a=$

设复数 $z$满足 $z\left(2-3i\right)=6+4i$（其中 $i$为虚数单位），则 $z$的模为.

盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 $\left[5,40\right]$ 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20 $mm$ 。

设函数 $f\left(x\right)=x\left(e^x+a{e}^{-x}\right),x\in R,$ 是偶函数，则实数 $a=$    .

在平面直角坐标系 $xOy$中，双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上一点 $M$，点 $M$的横坐标是3，则 $M$到双曲线右焦点的距离是.

如图是一个算法的流程图，则输出 $S$ 的值是 .

函数 $y=x^2(x>0)$的图像在点 $(a_{k_{}},{a_k}^2)$处的切线与 $x$轴交点的横坐标为 $a_{k+b}$, $k$为正整数， $a_1=6$，则 $a_1+a_3+a_5=$

在平面直角坐标系 $xOy$中，已知圆 $x^2+y^2=4$上有且仅有四个点到直线 $12x-5y+c=0$的距离为1，则实数 $c$的取值范围是.

定义在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$上的函数 $y=6\cos x$的图像与 $y=5\tan x$的图像的交点为 $P$，过点 $P$作 $P{P}_1\perp x$轴于点 $P_1$,直线 $P{P}_1$与 $y=\sin x$的图像交于点 $P_2$,则线段 $P_1{P}_2$的长为.

已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2+1,x\ge 0\\ 1,x<0\end{array}\right.$,则满足不等式 $f\left(1-x^2\right)>f\left(2x\right)$的x的范围是

设实数 $x,y$满足 $3\le x{y}^2\le 8$， $4\le \frac{x^2}{y}\le 9$，则 $\frac{x^3}{y^4}$的最大值是.

在锐角三角形 $ABC$， $A$、 $B$、 $C$的对边分别为 $a$、 $b$、 $c$， $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$，则 $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=$

将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 $S=$,则 $S$的最小值是.

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $A\left(-1,-2\right),B\left(2,3\right),C\left(-2,-1\right)$

（1）求以线段 $AB$、 $AC$为邻边的平行四边形两条对角线的长
（2）设实数 $t$满足 $\left(\stackrel{\rightharpoonup }{AB}-t\stackrel{\rightharpoonup }{AC}\right)·\stackrel{\rightharpoonup }{OC}=0$，求 $t$的值

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PD\perp \mathrm{平面}ABCD$ ， $PD=DC=BC=1,Ab=2,AB\parallel DC,\angle BCD={90}^{°}$ .

（1）求证： $PC\perp BC$

（2）求点 $A$ 到平面 $PBC$ 的距离.

某兴趣小组测量电视塔 $AE$ 的高度 $H$ (单位 $m$ ），如示意图，垂直放置的标杆 $BC$ 高度 $h=4m$ ，仰角 $\angle ABE=\alpha ,\angle ADE=\beta$ .

（1）该小组已经测得一组 $\alpha ,\beta$ 的值， $\tan \alpha =1.24,\tan \beta =1.20$ ,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$ （单位 $m$ ），使 $\alpha$ 与 $\beta$ 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125 $m$ ，问 $d$ 为多少时， $\alpha -\beta$ 最大.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的左右顶点为 $A,B$ ，右顶点为 $F$ ，设过点 $T(t,m)$ 的直线 $TA,TB$ 与椭圆分别交于点 $M(x_1,y_1)$ ， $N(x_2,y_2)$ ，其中 $m>0$ , $y_1>0,y_2<0$

①设动点 $P$ 满足 $P{F}^2-P{B}^2=4$ ,求点 $P$ 的轨迹
②设 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$ ，求点 $T$ 的坐标
③设 $t=9$ ,求证：直线 $MN$ 必过 $x$ 轴上的一定点（其坐标与 $m$ 无关）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是公差为 $d$的等差数列.
①求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式（用 $n,d$表示）
②设 $c$为实数，对满足 $m+n=3k$且 $m\ne n$的任意正整数 $m,n,k$，不等式 $S_m+S_n>c{S}_k$都成立。求证： $c$的最大值为 $\frac{9}{2}$

设 $f\left(x\right)$使定义在区间 $(1,+\infty )$上的函数，其导函数为 $f`\left(x\right)$.如果存在实数 $a$和函数 $h\left(x\right)$，其中 $h\left(x\right)$对任意的 $x\in (1,+\infty )$都有 $h\left(x\right)>0$，使得 $f`\left(x\right)=h\left(x\right)(x^2-ax+1)$，则称函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(a\right)$.
(1)设函数 $f\left(x\right)=h\left(x\right)+\frac{b+2}{x+1}(x>1)$，其中 $b$为实数
①求证：函数 $f\left(x\right)$具有性质 $P\left(b\right)$;

②求函数 $f\left(x\right)$的单调区间
(2)已知函数 $g\left(x\right)$具有性质 $P\left(2\right)$，给定 $x_1,x_2\in (1,+\infty ),x_1<x_2$,设 $m$为实数. $\alpha =m{x}_1+(1-m)x_2,\beta =(1-m)x_1+m{x}_2$，且 $\alpha >1,\beta >1$，若 $\left|g\left(\alpha \right)-g\left(\beta \right)\right|<\left|g\left(x_1\right)-g\left(x_2\right)\right|$,求 $m$的取值范围

（1）几何证明选讲
$AB$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $AB$ 延长线于 $C$ ，若 $DA=DC$ ，求证 $AB=2BC$ .

（2）矩阵与变换
在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $A(0,0),B(-3,0),C(-2,-1)$ ,设 $k\ne 0,k\in R$ ， $M=\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right],N=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$ ,点 $A,B,C$ 在矩阵 $MN$ 对应的变换下得到点 $A_1,B_1,C_1,△A_1{B}_1{C}_1$ 的面积是 $△ABC$ 面积的2倍，求实数 $k$ 的值
（3）参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆 $\rho =2\cos \theta$ 与直线 $3\rho cs\theta +4\rho \sin \theta +a=0$ 相切，求实数 $a$ 的值.
（4）不等式证明选讲
已知实数 $a,b\ge 0$ ，求证： $a^3+b^3\ge \sqrt{ab}(a^2+b^2)$ .

某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立.
（1）记 $X$单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 $X$的分布列.
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

已知 $∆ABC$的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$是有理数;
（2）对任意正整数 $n$,求证 $\cos nA$也是有理数.