设各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，已知 $2a_2=a_1+a_3$，数列 $\left\{\sqrt{S_n}\right\}$是公差为 $d$的等差数列.
①求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式（用 $n,d$表示）
②设 $c$为实数，对满足 $m+n=3k$且 $m\ne n$的任意正整数 $m,n,k$，不等式 $S_m+S_n>c{S}_k$都成立。求证： $c$的最大值为 $\frac{9}{2}$