2022年中考数学专题：反比例函数（二）

一次函数 $y_1=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(-1,-2)$ ，点 $B(2,1)$ ．当 $y_1<y_2$ 时， $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．

如图为表示镭的放射规律的函数图象，据此可计算 $32\mathit{mg}$ 镭缩减为 $1\mathit{mg}$ 所用的时间大约是 $($ 　　 $)$

如图，点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象上， $\mathit{AC}\perp x$ 轴于点 $C$ ， $\mathit{BD}\perp x$ 轴于点 $D$ ， $\mathit{BE}\perp y$ 轴于点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ．若 $\mathit{OE}=1$ ， $\mathit{OC}=\frac{2}{3}\mathit{OD}$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AE}$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=\mathit{bx}+c$ 的图象和反比例函数 $y=\frac{a+b+c}{x}$ 的图象在同一坐标系中大致为 $($ 　　 $)$

如图，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A(2,1)$ ，过 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ，连 $\mathit{OA}$ ，直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{OA}$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，若点 $B$ 关于直线 $\mathit{CD}$ 的对称点 $B\text{'}$ 恰好落在该反比例函数图像上，则 $D$ 点纵坐标为 $($ 　　 $)$

已知三个点 $(x_1$ ， $y_1)$ ， $(x_2$ ， $y_2)$ ， $(x_3$ ， $y_3)$ 在反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的图象上，其中 $x_1<x_2<0<x_3$ ，下列结论中正确的是 $($ 　　 $)$

一次函数 $y=x+n$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0)$ 的图象交于点 $A(1,m)$ ，且 $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积为1，则 $m$ 的值是 $($ 　　 $)$

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AD}\perp y$ 轴，垂足为 $E$ ，顶点 $A$ 在第二象限，顶点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x>0)$ 的图象同时经过顶点 $C$ 、 $D$ ．若点 $C$ 的横坐标为5， $\mathit{BE}=2\mathit{DE}$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

如图，直线 $l_1$ 与反比例函数 $y=\frac{3}{x}(x>0)$ 的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点，线段 $\mathit{AB}$ 的中点为点 $C$ ，过点 $C$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ．直线 $l_2$ 过原点 $O$ 和点 $C$ ．若直线 $l_2$ 上存在点 $P(m,n)$ ，满足 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{ADB}$ ，则 $m+n$ 的值为 $($ 　　 $)$

已知点 $A(x_1$ ， $y_1)$ ， $B(x_2$ ， $y_2)$ 在反比例函数 $y=-\frac{12}{x}$ 的图象上．若 $x_1<0<x_2$ ，则 $($ 　　 $)$

用绘图软件绘制双曲线 $m:y=\frac{60}{x}$与动直线 $l:y=a$，且交于一点，图1为 $a=8$时的视窗情形．

（1）当 $a=15$时， $l$与 $m$的交点坐标为 　　；

（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 $O$始终在视窗中心．

例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 $\frac{1}{2}$，其可视范围就由 $-15⩽x⩽15$及 $-10⩽y⩽10$变成了 $-30⩽x⩽30$及 $-20⩽y⩽20$（如图 $2)$．当 $a=-1.2$和 $a=-1.5$时， $l$与 $m$的交点分别是点 $A$和 $B$，为能看到 $m$在 $A$和 $B$之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的 $\frac{1}{k}$，则整数 $k=$　　．

点 $A(x_1$， $y_1)$、 $B(x_1+1$， $y_2)$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象上的两点，满足：当 $x_1>0$时，均有 $y_1<y_2$，则 $k$的取值范围是 　　．

若点 $A(1,y_1)$， $B(3,y_2)$在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$的图象上，则 $y_1$　　 $y_2$（填“ $>$”“ $<$”或“ $=$” $)$．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点， $\mathit{MN}$垂直于 $x$轴，以 $\mathit{MN}$为对称轴作 $\mathit{\Delta ODE}$的轴对称图形，对称轴 $\mathit{MN}$与线段 $\mathit{DE}$相交于点 $F$，点 $D$的对应点 $B$恰好落在 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x<0)$的双曲线上，点 $O$、 $E$的对应点分别是点 $C$、 $A$．若点 $A$为 $\mathit{OE}$的中点，且 $S_{\mathit{\Delta AEF}}=1$，则 $k$的值为 　　．

如图，一次函数 $y=2x$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $M$在以 $C(2,0)$为圆心，半径为1的 $\odot C$上， $N$是 $\mathit{AM}$的中点，已知 $\mathit{ON}$长的最大值为 $\frac{3}{2}$，则 $k$的值是 　　．

已知点 $A(1,y_1)$， $B(2,y_2)$为反比例函数 $y=\frac{3}{x}$图象上的两点，则 $y_1$与 $y_2$的大小关系是 $y_1$　　 $y_2$．（填“ $>$”“ $=$”或“ $<$” $)$

若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象过点 $(1,1)$，则 $k$的值等于 　　．

如图，点 $A$是反比例函数 $y=\frac{12}{x}(x>0)$的图象上一点，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\mathit{AC}$交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $B$，点 $P$是 $y$轴正半轴上一点．若 $\mathit{\Delta PAB}$的面积为2，则 $k$的值为 　　．

若点 $A(1,y_1)$， $B(2,y_2)$在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$的图象上，则 $y_1$　　 $y_2$（填“ $>$”“ $<$”或“ $=$” $)$．

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$斜边上的高为1， $\angle \mathit{AOB}=30°$，将 $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$绕原点顺时针旋转 $90°$得到 $\text{Rt}\Delta \text{OCD}$，点 $A$的对应点 $C$恰好在函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象上，若在 $y=\frac{k}{x}$的图象上另有一点 $M$使得 $\angle \mathit{MOC}=30°$，则点 $M$的坐标为 　　．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现

由 $5+5=2\sqrt{5\times 5}=10$； $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\sqrt{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$； $0.4+0.4=2\sqrt{0.4\times 0.4}=0.8$； $\frac{1}{5}+5>2\sqrt{\frac{1}{5}\times 5}=2$； $0.2+3.2>2\sqrt{0.2\times 3.2}=1.6$； $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}>2\sqrt{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$．

猜想：如果 $a>0$， $b>0$，那么存在 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想证明

$\because {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2⩾0$，

$\therefore$①当且仅当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即 $a=b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b=0$， $\therefore a+b=2\sqrt{\mathit{ab}}$；

②当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne 0$，即 $a\ne b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b>0$， $\therefore a+b>2\sqrt{\mathit{ab}}$．

综合上述可得：若 $a>0$， $b>0$，则 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$成立（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想运用

对于函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

变式探究

对于函数 $y=\frac{1}{x-3}+x(x>3)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$（米 ${}^2)$．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$最大？最大面积是多少？

如图，在平面直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的斜边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，坐标原点是 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{BC}=4$，双曲线 $y=\frac{k}{x}$经过点 $A$．

（1）求 $k$；

（2）直线 $\mathit{AC}$与双曲线 $y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$在第四象限交于点 $D$，求 $\mathit{\Delta ABD}$的面积．

如图，正比例函数 $y=x$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A(1,a)$ 在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$ ，点 $C$ 坐标为 $(-2,0)$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求 $\mathit{AB}$ 所在直线的解析式．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的图象与 $y$轴的正半轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象交于 $P$， $D$两点．以 $\mathit{AD}$为边作正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $B$落在 $x$轴的负半轴上，已知 $\mathit{\Delta BOD}$的面积与 $\mathit{\Delta AOB}$的面积之比为 $1:4$．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b$的表达式；

（2）求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta CPD}$外接圆半径的长．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=x+|-2x+6|+m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m=$ 　　， $a=$ 　　， $b=$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质： 　　；

（3）已知函数 $y=\frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x+|-2x+6|+m>\frac{16}{x}$ 的解集．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 $y=\frac{x-2}{x}(x\ne 0)$的图象与性质进行探究．

因为 $y=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$，即 $y=-\frac{2}{x}+1$，所以可以对比函数 $y=-\frac{2}{x}$来探究．

列表：（1）下表列出 $y$与 $x$的几组对应值，请写出 $m$， $n$的值： $m=$　　， $n=$　　；

描点：在平面直角坐标系中，以自变量 $x$的取值为横坐标，以 $y=\frac{x-2}{x}$相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把 $y$轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；

（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当 $x<0$时， $y$随 $x$的增大而 　　；（填“增大”或“减小” $)$

②函数 $y=\frac{x-2}{x}$的图象是由 $y=-\frac{2}{x}$的图象向 　　平移 　　个单位而得到．

③函数图象关于点 　　中心对称．（填点的坐标）

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k>0)$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，且与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$图象的一个交点为 $P(1,m)$．

（1）求 $m$的值；

（2）若 $\mathit{PA}=2\mathit{AB}$，求 $k$的值．