初中数学*平面向量试题

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，已知 $\overrightarrow{\mathit{AB}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mathit{AD}}=\vec{b}$ ， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 中点，则 $\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}=$ （ ）

A．

$\overrightarrow{\mathit{EC}}$

B．

$\overrightarrow{\mathit{CE}}$

C．

$\overrightarrow{\mathit{ED}}$

D．

$\overrightarrow{\mathit{DE}}$

如图， $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$是平行四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线，设 $\overrightarrow{\mathit{BC}}=\vec{a}$， $\overrightarrow{\mathit{CA}}=\vec{b}$，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{BD}}$用向量 $\vec{a}$、 $\vec{b}$表示为　　．

请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a}=(x_1$， $y_1)$， $\vec{b}=(x_2$， $y_2)$满足下列条件：

① $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$， $\left|\vec{b}\right|=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$

② $\vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha$（角 $\alpha$的取值范围是 $0°<\alpha <90°)$；

③ $\vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a}=(1,\sqrt{3})$， $\vec{b}=(-\sqrt{3}$， $3)$，求角 $\alpha$的大小；

解： $\because \left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2$，

$\vec{b}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{{(-\sqrt{3})}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\therefore \vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha =2\times 2\sqrt{3}\cos \alpha =4\sqrt{3}\cos \alpha$

又 $\because \vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=1\times (-\sqrt{3})+\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}$

$\therefore 4\sqrt{3}\cos \alpha =2\sqrt{3}$

$\therefore \cos \alpha =\frac{1}{2}$， $\therefore \alpha =60°$

$\therefore$角 $\alpha$的值为 $60°$．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a}=(1,0)$， $\vec{b}=(1,-1)$，求角 $\alpha$的大小．

平面直角坐标系中，点 $P$的坐标为 $(m,n)$，则向量 $\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以用点 $P$的坐标表示为 $\overrightarrow{\mathit{OP}}=(m,n)$；已知 $\overrightarrow{O{A}_1}=(x_1$， $y_1)$， $\overrightarrow{O{A}_2}=(x_2$， $y_2)$，若 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，则 $\overrightarrow{O{A}_1}$与 $\overrightarrow{O{A}_2}$互相垂直．

下面四组向量：① $\overrightarrow{O{B}_1}=(3,-9)$， $\overrightarrow{O{B}_2}=(1,-\frac{1}{3})$；

② $\overrightarrow{O{C}_1}=(2,{\pi }^0)$， $\overrightarrow{O{C}_2}=(2^{-1}$， $-1)$；

③ $\overrightarrow{O{D}_1}=(\cos 30°,\tan 45°)$， $\overrightarrow{O{D}_2}=(\sin 30°,\tan 45°)$；

④ $\overrightarrow{O{E}_1}=(\sqrt{5}+2$， $\sqrt{2})$， $\overrightarrow{O{E}_2}=(\sqrt{5}-2$， $\frac{\sqrt{2}}{2})$．

其中互相垂直的组有 $($　　 $)$

A．1组B．2组C．3组D．4组

规定：在平面直角坐标系中，如果点 $P$的坐标为 $(m,n)$，向量 $\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以用点 $P$的坐标表示为： $\overrightarrow{\mathit{OP}}=(m,n)$．已知： $\overrightarrow{\mathit{OA}}=(x_1$， $y_1)$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}=(x_2$， $y_2)$，如果 $x_1·x_2+y_1·y_2=0$，那么 $\overrightarrow{\mathit{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OB}}$互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是 $($　　 $)$

A． $\overrightarrow{\mathit{OC}}=(3,2)$， $\overrightarrow{\mathit{OD}}=(-2,3)$B． $\overrightarrow{\mathit{OE}}=(\sqrt{2}-1$， $1)$， $\overrightarrow{\mathit{OF}}=(\sqrt{2}+1$， $1)$

C． $\overrightarrow{\mathit{OG}}=(3$， ${2018}^0)$， $\overrightarrow{\mathit{OH}}=(-\frac{1}{3}$， $-1)$D． $\overrightarrow{\mathit{OM}}=(\sqrt[3]{8}$， $-\frac{1}{2})$， $\overrightarrow{\mathit{ON}}=({\left(\sqrt{2}\right)}^2$， $4)$

在平面直角坐标系中，如果点 $P$坐标为 $(m,n)$，向量 $\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以用点 $P$的坐标表示为 $\overrightarrow{\mathit{OP}}=(m,n)$．

已知： $\overrightarrow{\mathit{OA}}=(x_1$， $y_1)$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}=(x_2$， $y_2)$，如果 $x_1·x_2+y_1·y_2=0$，那么 $\overrightarrow{\mathit{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OB}}$互相垂直，下列四组向量：

① $\overrightarrow{\mathit{OC}}=(2,1)$， $\overrightarrow{\mathit{OD}}=(-1,2)$；

② $\overrightarrow{\mathit{OE}}=(\cos 30°,\tan 45°)$， $\overrightarrow{\mathit{OF}}=(1,\sin 60°)$；

③ $\overrightarrow{\mathit{OG}}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}$， $-2)$， $\overrightarrow{\mathit{OH}}=(\sqrt{3}+\sqrt{2}$， $\frac{1}{2})$；

④ $\overrightarrow{\mathit{OM}}=({\pi }^0$， $2)$， $\overrightarrow{\mathit{ON}}=(2,-1)$．

其中互相垂直的是　　（填上所有正确答案的符号）．

阅读材料：设 $\vec{a}=(x_1$， $y_1)$， $\vec{b}=(x_2$， $y_2)$，如果 $\vec{a}//\vec{b}$，则 $x_1\cdot y_2=x_2\cdot y_1$．根据该材料填空：已知 $\vec{a}=(2,3)$， $\vec{b}=(4,m)$，且 $\vec{a}//\vec{b}$，则 $m=$　　．

规定：在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，如果点 $P$的坐标为 $(a,b)$，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{OP}}$可以表示为： $\overrightarrow{\mathit{OP}}=(a,b)$，如果 $\overrightarrow{\mathit{OA}}$与 $\overrightarrow{\mathit{OB}}$互相垂直， $\overrightarrow{\mathit{OA}}=(x_1$， $y_1)$， $\overrightarrow{\mathit{OB}}=(x_2$， $y_2)$，那么 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$．若 $\overrightarrow{\mathit{OM}}$与 $\overrightarrow{\mathit{ON}}$互相垂直， $\overrightarrow{\mathit{OM}}=(\sin \alpha ,1)$， $\overrightarrow{\mathit{ON}}=(2,-\sqrt{3})$，则锐角 $\angle \alpha =$　　．

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，设 $\overrightarrow{\mathit{BA}}=\vec{a}$， $\overrightarrow{\mathit{BC}}=\vec{b}$，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{BF}}$用向量 $\vec{a}$、 $\vec{b}$表示为　　．

如图， 已知平行四边形 $\mathit{ABCD}$， $E$是边 $\mathit{BC}$的中点， 联结 $\mathit{DE}$并延长， 与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $F$． 设 $\overrightarrow{\mathit{DA}}=\vec{a}$， $\overrightarrow{\mathit{DC}}=\vec{b}$，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{DF}}$用向量 $\vec{a}$、 $\vec{b}$表示为　　．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{CD}=2\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，设 $\overrightarrow{\mathit{AE}}=\vec{a}$， $\overrightarrow{\mathit{CE}}=\vec{b}$，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{CD}}$用向量 $\vec{a}$、 $\vec{b}$表示为　　．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}$ 是角平分线，点 $D$ 在边 $\mathit{BC}$ 上，设 $\overrightarrow{\mathit{BC}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mathit{AD}}=\vec{b}$ ，那么向量 $\overrightarrow{\mathit{AC}}$ 用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$

B．

$\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$

C．

$-\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$

D．

$-\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$

如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：2（＋）－（2－4）（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）

计算：（+-3）-2（--）= ．