初中数学解答题

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？
（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（4，0），与y轴相交于点B（0，4），动点C是从点A出发，向O点运动，到达0点时停止运动，过点C作EC⊥x轴，交直线AB于点D，交抛物线于点E．

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接OE交AB于F点，连接AE，在动点C的运动过程中，若△AOF的面积是△AEF面积的2倍，求点C的坐标？
（3）在动点C的运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

如图1，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P在直线上AC（不与点O重合），作直线BP，分别作AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、点F．

（1）求证：△ABE≌△BCF；
（2）如图2，连接OE，OF，判断OE、OF的关系并证明你的结论；
（3）若点P在如图3所示位置，请判断线段AE，OE，CF三者之间的关系，直接写出结论．

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，且CO=BO=3AO，AB=4，抛物线的顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点E（0，n）在y轴正半轴上，且位于点C的下方．当n在什么范围内取值时∠CBD＜∠CED？当n在什么范围内取值时∠CBD＞∠CED？
（3）若过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P，求点P的坐标．

如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，CE=，CD=2．

（1）求直径BC的长；
（2）求弦AB的长．

如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，以顶点C为圆心，BC为半径作圆．若AC=4，tanA=．

（1）求AB长；
（2）求⊙C截AB所得弦BD的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为（3，15），且过点（﹣2，10），对称轴AB交x轴于点B，点E是线段AB上一动点，以EB为边在对称轴右侧作矩形EBCD，使得点D恰好落在抛物线上，点D′是点D关于直线EC的轴对称点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D′恰好落在y轴上的点（0，6）时，求此时D点的坐标；
（3）直线CD′交对称轴AB于点F；
①当点D′在对称轴AB的左侧时，且△ED′F∽△CDE，求出DE：DC的值.
②连结B D′，是否存在点E，使△E D′B为等腰三角形？若存在，请直接写出BE：BC的值；若不存在请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（﹣9，0），B（0，12），点C的坐标为（16，0），作射线CB，点D为射线CA上的一动点，过点D作DE⊥CB于点E，点P为直线AB上的一个动点，连结PD，PE，设CD长为t（t＞0）．

（1）当0＜t＜25时DE=        ，BE=        （均用含t的代数式表示）；
（2）设△PDE的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）当点D不在线段AO上时，在点D的其余运动过程中，若存在点D、P使得△PAD和△PBE相似，则求出所有满足条件的t的值．

如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB 于点E，且ME=3，AM=6，AE=3．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求的长；
（3）求阴影部分的面积．

已知关于的方程x²+ax+b=0（b≠0）与x²+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x²﹣x﹣6=0与x²﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．
（1）若关于x的方程x²+4x+m=0与x²﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；
（2）若p是关于x的方程x²+ax+b=0（b≠0）的实数根，q是关于x的方程的实数根，当p、q分别取何值时，方程x²+ax+b=0（b≠0）与互为“同根轮换方程”，请说明理由．

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．

（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD=5，DC=3，求AC的长．

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．

（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交边AC、CB于点D、E．

（1）如图①，当PD⊥AC时，则DC+CE的值是      ．
（2）如图②，当PD与AC不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图③，在∠DPE内作∠MPN=45°，使得PM、PN分别交DC、CE于点M、N，连接MN．那么△CMN的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）求证：△ACM≌△BCP；
（2）若PA=1，PB=2，求△PCM的面积．