初中数学解直角三角形计算题

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $A$，与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象在第二象限交于点 $C$， $\mathit{CE}\perp x$轴，垂足为点 $E$， $\tan \angle \mathit{ABO}=\frac{1}{2}$， $\mathit{OB}=4$， $\mathit{OE}=2$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点 $D$是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp y$轴，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{BF}$．如果 $S_{\mathit{\Delta BAF}}=4S_{\mathit{\Delta DFO}}$，求点 $D$的坐标．

计算：＋ （π－1）⁰＋|2－|－-2sin30°．

如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

计算：．

在三角形纸片 $\mathit{ABC}$（如图1）中， $\angle \mathit{BAC}=78°$， $\mathit{AC}=10$．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．

（1） $\angle \mathit{ABC}=$　     　 $°$；

（2）求正五边形 $\mathit{GHMNC}$的边 $\mathit{GC}$的长．

参考值： $\sin 78°\approx 0.98$， $\cos 78°\approx 0.21$， $\tan 78°\approx 4.7$．

计算：

某中学综合实践小组同学，想测量金龙山观音大佛的高度，他们在山脚下的D处测得山顶B的仰角为30°，沿着山脚向前走了4米达到E处，测得观音大佛的头顶A的倾角为45°，已知金龙山的山顶距地面的标高（线段BC的长度）为60米，请计算观音大佛的高度为多少米？（结果精确到0.1米，≈1.73）

计算

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$， $P$为 $\mathit{CB}$延长线上一点，连接 $\mathit{PA}$，且 $\angle \mathit{PAB}=\angle \mathit{ADB}$．

（1）求证： $\mathit{PA}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\tan \angle \mathit{ADB}=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{PB}$长；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{AD}=\mathit{CD}$，求 $\mathit{\Delta CDE}$的面积．

如图，已知 $\mathit{BF}$是 $\odot O$的直径， $A$为 $\odot O$上（异于 $B$、 $F)$一点， $\odot O$的切线 $\mathit{MA}$与 $\mathit{FB}$的延长线交于点 $M$； $P$为 $\mathit{AM}$上一点， $\mathit{PB}$的延长线交 $\odot O$于点 $C$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点且 $\mathit{PA}=\mathit{PD}$， $\mathit{AD}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}=\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$；

（2）若 $\mathit{ED}$、 $\mathit{EA}$的长是一元二次方程 $x^2-5x+5=0$的两根，求 $\mathit{BE}$的长；

（3）若 $\mathit{MA}=6\sqrt{2}$， $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{1}{3}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=5$，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(1,4)$．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$的坐标；

（2）如图2，过 $\mathit{BC}$的中点 $D$作 $\mathit{DP}//x$轴交反比例函数图象于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$．

①求 $\mathit{\Delta AOP}$的面积；

②在 $▱\mathit{OABC}$的边上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta POM}$是以 $\mathit{PO}$为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

计算：2sin60°＋cos60°－3tan30°．

计算：．