初中数学相似形综合题试题

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$是 $\mathit{AB}$延长线上的点， $\mathit{AC}$的垂直平分线交半圆于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{DA}$， $\mathit{DC}$．已知半圆 $O$的半径为3， $\mathit{BC}=2$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长．

（2）点 $P$是线段 $\mathit{AC}$上一动点，连接 $\mathit{DP}$，作 $\angle \mathit{DPF}=\angle \mathit{DAC}$， $\mathit{PF}$交线段 $\mathit{CD}$于点 $F$．当 $\mathit{\Delta DPF}$为等腰三角形时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点（点 $E$与点 $A$， $B$不重合），连接 $\mathit{CE}$，过点 $B$作 $\mathit{BF}\perp \mathit{CE}$于点 $G$，交 $\mathit{AD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BCE}$；

（2）如图2，当点 $E$运动到 $\mathit{AB}$中点时，连接 $\mathit{DG}$，求证： $\mathit{DC}=\mathit{DG}$；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $C$作 $\mathit{CM}\perp \mathit{DG}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BF}$于点 $M$， $N$，求 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{NH}}$的值．

如图，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $P$是 $\mathit{BC}$边上一动点（不含 $B$、 $C$两点），将 $\mathit{\Delta ABP}$沿直线 $\mathit{AP}$翻折，点 $B$落在点 $E$处；在 $\mathit{CD}$上有一点 $M$，使得将 $\mathit{\Delta CMP}$沿直线 $\mathit{MP}$翻折后，点 $C$落在直线 $\mathit{PE}$上的点 $F$处，直线 $\mathit{PE}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{NA}$．则以下结论中正确的有　　（写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{\Delta CMP}\backsim \mathit{\Delta BPA}$；

②四边形 $\mathit{AMCB}$的面积最大值为10；

③当 $P$为 $\mathit{BC}$中点时， $\mathit{AE}$为线段 $\mathit{NP}$的中垂线；

④线段 $\mathit{AM}$的最小值为 $2\sqrt{5}$；

⑤当 $\mathit{\Delta ABP}\cong \mathit{\Delta ADN}$时， $\mathit{BP}=4\sqrt{2}-4$．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $P$为正方形内一动点，若点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，延长 $\mathit{BP}$交 $\mathit{AD}$于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）如图一，若点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，求证： $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$； $\mathit{AM}=\mathit{AN}$；

（2）①如图二，在点 $P$运动过程中，满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$的点 $M$在 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$和 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点 $P$，使得 $\mathit{PC}=\frac{1}{2}$？请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta BEC}$均为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{BEC}=90°$， $\mathit{AC}=4\sqrt{2}$，点 $P$为线段 $\mathit{BE}$延长线上一点，连接 $\mathit{CP}$以 $\mathit{CP}$为直角边向下作等腰直角 $\mathit{\Delta CPD}$，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $F$

（1）求证： $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{CD}}=\frac{\mathit{CE}}{\mathit{CB}}$；

（2）连接 $\mathit{BD}$，请你判断 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$有什么位置关系？并说明理由；

（3）设 $\mathit{PE}=x$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S$，求 $S$与 $x$之间的函数关系式．

如图，在△ ABC中， AD⊥ BC， BE⊥ AC，垂足分别为 D， E， AD与 BE相交于点 F．

（1）求证：△ ACD∽△ BFD；

（2）当tan∠ ABD＝1， AC＝3时，求 BF的长．

在△ABC中， $\mathit{AB}＝6，$ $\mathit{AC}＝8，$ $\mathit{BC}＝10$，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；

（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．

①如图1，连接GH、AD，当 $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；

②当AGDH的面积最大时，过A作 $\mathit{AP}\perp \mathit{EF}$于P，且 $\mathit{AP}＝\mathit{AD}$，求k的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知 A（﹣3，﹣2）， B（0，﹣2）， C（﹣3，0）， M是线段 AB上的一个动点，连接 CM，过点 M作 MN⊥ MC交 y轴于点 N，若点 M、 N在直线 y＝ kx+ b上，则 b的最大值是（　　）

A．

﹣ $\frac{7}{8}$

B．

﹣ $\frac{3}{4}$

C．

﹣1

D．

0

如图，在矩形 ABCD中， AB＝3， BC＝5， E是 AD上的一个动点．

（1）如图1，连接 BD， O是对角线 BD的中点，连接 OE．当 OE＝ DE时，求 AE的长；

（2）如图2，连接 BE， EC，过点 E作 EF⊥ EC交 AB于点 F，连接 CF，与 BE交于点 G．当 BE平分∠ ABC时，求 BG的长；

（3）如图3，连接 EC，点 H在 CD上，将矩形 ABCD沿直线 EH折叠，折叠后点 D落在 EC上的点 D'处，过点 D′作 D′ N⊥ AD于点 N，与 EH交于点 M，且 AE＝1．

①求 $\frac{S_{△E{D}^{\text{'}}M}}{S_{△\mathit{EMN}}}$ 的值；

②连接 BE，△ D' MH与△ CBE是否相似？请说明理由．

如图，正方形 ABCD的边长为3 cm， P， Q分别从 B， A出发沿 BC， AD方向运动， P点的运动速度是1 cm/秒， Q点的运动速度是2 cm/秒，连接 A， P并过 Q作 QE⊥ AP垂足为 E．

（1）求证：△ ABP∽△ QEA；

（2）当运动时间 t为何值时，△ ABP≌△ QEA；

（3）设△ QEA的面积为 y，用运动时刻 t表示△ QEA的面积 y（不要求考 t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）

若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，中，设，，，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，

（1）模拟探究：如图，正方形为的边上的内接正方形，求证： $\frac{1}{a}+\frac{1}{h_a}=\frac{1}{x_a}$；

（2）特殊应用：若，，求 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值；

（3）拓展延伸：若为锐角三角形，，请判断与的大小，并说明理由．

若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，中，设，，，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，

（1）模拟探究：如图，正方形为的边上的内接正方形，求证： $\frac{1}{a}+\frac{1}{h_a}=\frac{1}{x_a}$；

（2）特殊应用：若，，求 $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值；

（3）拓展延伸：若为锐角三角形，，请判断与的大小，并说明理由．

如图， $\angle \mathit{MON}=45°$ ，正方形 $\mathit{AB}{B}_{1}C$ ，正方形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$ ，正方形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$ ，正方形 $A_3{B}_3{B}_4{C}_3$ ， $\dots$ ，的顶点 $A$ ， $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\dots$ ，在射线 $\mathit{OM}$ 上，顶点 $B$ ， $B_1$ ， $B_2$ ， $B_3$ ， $B_4$ ， $\dots$ ，在射线 $\mathit{ON}$ 上，连接 $A{B}_2$ 交 $A_1{B}_1$ 于点 $D$ ，连接 $A_1{B}_3$ 交 $A_2{B}_2$ 于点 $D_1$ ，连接 $A_2{B}_4$ 交 $A_3{B}_3$ 于点 $D_2$ ， $\dots$ ，连接 $B_1{D}_1$ 交 $A{B}_2$ 于点 $E$ ，连接 $B_2{D}_2$ 交 $A_1{B}_3$ 于点 $E_1$ ， $\dots$ ，按照这个规律进行下去，设 $\mathit{\Delta ACD}$ 与△ $B_1\mathit{DE}$ 的面积之和为 $S_1$ ，△ $A_1{C}_1{D}_1$ 与△ $B_2{D}_1{E}_1$ 的面积之和为 $S_2$ ，△ $A_2{C}_2{D}_2$ 与△ $B_3{D}_2{E}_2$ 的面积之和为 $S_3$ ， $\dots$ ，若 $\mathit{AB}=2$ ，则 $S_n$ 等于 　　．（用含有正整数 $n$ 的式子表示）

问题背景 如图（1），已知 $\mathit{\Delta ABC}\backsim \mathit{\Delta ADE}$ ，求证： $\mathit{\Delta ABD}\backsim \mathit{\Delta ACE}$ ；

尝试应用 如图（2），在 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ADE}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=30°$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DE}$ 相交于点 $F$ ，点 $D$ 在 $\mathit{BC}$ 边上， $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{BD}}=\sqrt{3}$ ，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$ 的值；

拓展创新 如图（3）， $D$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点， $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CBD}=30°$ ， $\angle \mathit{BDC}=90°$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ，直接写出 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DAC}=90°$ ， $\tan \angle \mathit{ACB}=\frac{1}{2}$ ， $\frac{\mathit{BO}}{\mathit{OD}}=\frac{4}{3}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta ABD}}}{S_{\mathit{\Delta CBD}}}=$ 　     　．