已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $P$为正方形内一动点，若点 $M$在 $\mathit{AB}$上，且满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，延长 $\mathit{BP}$交 $\mathit{AD}$于点 $N$，连接 $\mathit{CM}$．

（1）如图一，若点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上，求证： $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$； $\mathit{AM}=\mathit{AN}$；

（2）①如图二，在点 $P$运动过程中，满足 $\mathit{\Delta PBC}\backsim \mathit{\Delta PAM}$的点 $M$在 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{AP}\perp \mathit{BN}$和 $\mathit{AM}=\mathit{AN}$是否成立？（不需说明理由）

②是否存在满足条件的点 $P$，使得 $\mathit{PC}=\frac{1}{2}$？请说明理由．