如图,正方形 的对角线相交于点 ,点 , 分别是边 , 上的动点(不与点 , , 重合), , 分别交 于点 , ,且 始终保持 不变.
(1)求证: ;
(2)求证: ;
(3)请探索:在 的旋转过程中,当 等于多少度时, ?写出你的探索结论,并加以证明.
如图,已知抛物线 经过 的三个顶点,其中点 ,点 , 轴,点 是直线 下方抛物线上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点 且与 轴平行的直线 与直线 、 分别交于点 、 ,当四边形 的面积最大时,求点 的坐标;
(3)当点 为抛物线的顶点时,在直线 上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.
已知:如图,在矩形 中, , ,对角线 , 交于点 .点 从点 出发,沿 方向匀速运动,速度为 ;同时,点 从点 出发,沿 方向匀速运动,速度为 ;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接 并延长,交 于点 ,过点 作 ,交 于点 .设运动时间为 ,解答下列问题:
(1)当 为何值时, 是等腰三角形?
(2)设五边形 的面积为 ,试确定 与 的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻 ,使 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由;
(4)在运动过程中,是否存在某一时刻 ,使 平分 ?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
在矩形 中, , ,动点 从点 出发,以每秒1个单位的速度,沿 向点 移动;同时点 从点 出发,仍以每秒1个单位的速度,沿 向点 移动,连接 , , .若两个点同时运动的时间为 秒 ,解答下列问题:
(1)设 的面积为 ,用含 的函数关系式表示 ;当 为何值时, 有最大值?并求出最小值;
(2)是否存在 的值,使得 ?试说明理由.
如图,已知正方形 的边长为4,点 是 边上的一个动点,连接 ,过点 作 的垂线交 于点 ,以 为边作正方形 ,顶点 在线段 上,对角线 、 相交于点 .
(1)若 ,则 ;
(2)①求证:点 一定在 的外接圆上;
②当点 从点 运动到点 时,点 也随之运动,求点 经过的路径长;
(3)在点 从点 到点 的运动过程中, 的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到 边的距离的最大值.
如图,已知二次函数 的图象与 轴交于 , 两点,与 轴交于点 , 的半径为 , 为 上一动点.
(1)点 , 的坐标分别为 , ;
(2)是否存在点 ,使得 为直角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接 ,若 为 的中点,连接 ,则 的最大值 .
如图,已知矩形 中, , ,动点 从点 出发,在边 上以每秒1个单位的速度向点 运动,连接 ,作点 关于直线 的对称点 ,设点 的运动时间为 .
(1)若 ,求当 , , 三点在同一直线上时对应的 的值.
(2)已知 满足:在动点 从点 到点 的整个运动过程中,有且只有一个时刻 ,使点 到直线 的距离等于3,求所有这样的 的取值范围.
在平面直角坐标系中,已知 、 、 、 .
(1)四边形 的周长的最小值为 ,此时四边形 的形状为 ;
(2)在(1)的情况下, 为 的中点, 为 上一动点,连接 ,作 交四边形的边于点 ,在点 从 运动到 的过程中:
①求 的值;
②若 的中点为 ,在整个运动过程中,请直接写出点 所经过的路线长.
在平面直角坐标系中,已知 、 、 、 .
(1)四边形 的周长的最小值为 ,此时四边形 的形状为 ;
(2)在(1)的情况下, 为 的中点, 为 上一动点,连接 ,作 交四边形的边于点 ,在点 从 运动到 的过程中:
①求 的值;
②若 的中点为 ,在整个运动过程中,请直接写出点 所经过的路线长.
如图,在矩形纸片 中,已知 , ,点 在边 上移动,连接 ,将多边形 沿直线 翻折,得到多边形 ,点 、 的对应点分别为点 、 .
(1)当 恰好经过点 时(如图 ),求线段 的长;
(2)若 分别交边 , 于点 , ,且 (如图 ,求 的面积;
(3)在点 从点 移动到点 的过程中,求点 运动的路径长.
如图,已知一次函数 的图象是直线 ,设直线 分别与 轴、 轴交于点 、 .
(1)求线段 的长度;
(2)设点 在射线 上,将点 绕点 按逆时针方向旋转 到点 ,以点 为圆心, 的长为半径作 .
①当 与 轴相切时,求点 的坐标;
②在①的条件下,设直线 与 轴交于点 ,与 的另一个交点为 ,连接 交 轴于点 ,直线 过点 分别与 轴、直线 交于点 、 ,当 与 相似时,求点 的坐标.