如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PC}$的垂线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，以 $\mathit{PE}$为边作正方形 $\mathit{PEFG}$，顶点 $G$在线段 $\mathit{PC}$上，对角线 $\mathit{EG}$、 $\mathit{PF}$相交于点 $O$．

（1）若 $\mathit{AP}=1$，则 $\mathit{AE}=$　     　；

（2）①求证：点 $O$一定在 $\mathit{\Delta APE}$的外接圆上；

②当点 $P$从点 $A$运动到点 $B$时，点 $O$也随之运动，求点 $O$经过的路径长；

（3）在点 $P$从点 $A$到点 $B$的运动过程中， $\mathit{\Delta APE}$的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $\mathit{AB}$边的距离的最大值．