初中数学相似三角形的判定与性质计算题

直线 $y=\mathit{kx}+b$ 与反比例函数 $y=\frac{6}{x}(x>0)$ 的图象分别交于点 $A(m,3)$ 和点 $B(6,n)$ ，与坐标轴分别交于点 $C$ 和点 $D$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 的解析式；

（2）若点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，当 $\mathit{\Delta COD}$ 与 $\mathit{\Delta ADP}$ 相似时，求点 $P$ 的坐标．

在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ，动点 $Q$ 从点 $A$ 出发，以每秒1个单位的速度，沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 移动；同时点 $P$ 从点 $B$ 出发，仍以每秒1个单位的速度，沿 $\mathit{BC}$ 向点 $C$ 移动，连接 $\mathit{QP}$ ， $\mathit{QD}$ ， $\mathit{PD}$ ．若两个点同时运动的时间为 $x$ 秒 $(0<x⩽3)$ ，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{\Delta QPD}$ 的面积为 $S$ ，用含 $x$ 的函数关系式表示 $S$ ；当 $x$ 为何值时， $S$ 有最大值？并求出最小值；

（2）是否存在 $x$ 的值，使得 $\mathit{QP}\perp \mathit{DP}$ ？试说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{AC}=8$ ．线段 $\mathit{AD}$ 由线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$ 得到， $\mathit{\Delta EFG}$ 由 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{CB}$ 方向平移得到，且直线 $\mathit{EF}$ 过点 $D$ ．

（1）求 $\angle \mathit{BDF}$ 的大小；

（2）求 $\mathit{CG}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{AC}=8$ ．线段 $\mathit{AD}$ 由线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90°$ 得到， $\mathit{\Delta EFG}$ 由 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{CB}$ 方向平移得到，且直线 $\mathit{EF}$ 过点 $D$ ．

（1）求 $\angle \mathit{BDF}$ 的大小；

（2）求 $\mathit{CG}$ 的长．

如图1，一次函数 $y=-x+b$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于点 $A(1,3)$， $B(m,1)$，与 $x$轴交于点 $D$，直线 $\mathit{OA}$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象的另一支交于点 $C$，过点 $B$作直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $E$是点 $D$关于直线 $l$的对称点．

（1） $k=$　     　；

（2）判断点 $B$、 $E$、 $C$是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点 $F$在 $x$轴正半轴上， $\mathit{OF}=\frac{3}{2}$，点 $P$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象位于第一象限部分上的点（点 $P$在点 $A$的上方）， $\angle \mathit{ABP}=\angle \mathit{EBF}$，则点 $P$的坐标为 $($　　，　　 $)$．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $P$是 $\mathit{AB}$边上的一个动点，连接 $\mathit{CP}$，过点 $P$作 $\mathit{PC}$的垂线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，以 $\mathit{PE}$为边作正方形 $\mathit{PEFG}$，顶点 $G$在线段 $\mathit{PC}$上，对角线 $\mathit{EG}$、 $\mathit{PF}$相交于点 $O$．

（1）若 $\mathit{AP}=1$，则 $\mathit{AE}=$　     　；

（2）①求证：点 $O$一定在 $\mathit{\Delta APE}$的外接圆上；

②当点 $P$从点 $A$运动到点 $B$时，点 $O$也随之运动，求点 $O$经过的路径长；

（3）在点 $P$从点 $A$到点 $B$的运动过程中， $\mathit{\Delta APE}$的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 $\mathit{AB}$边的距离的最大值．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片， $\angle B=90°$，小明想从中剪出一个以 $\angle B$为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 $\mathit{DE}$、 $\mathit{EF}$剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　     　．

（拓展应用）

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{BC}$边上的高 $\mathit{AD}=h$，矩形 $\mathit{PQMN}$的顶点 $P$、 $N$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上，顶点 $Q$、 $M$在边 $\mathit{BC}$上，则矩形 $\mathit{PQMN}$面积的最大值为　    　．（用含 $a$， $h$的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形” $\mathit{ABCDE}$， $\mathit{AB}=32$， $\mathit{BC}=40$， $\mathit{AE}=20$， $\mathit{CD}=16$，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ $\angle B$为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料 $\mathit{ABCD}$，经测量 $\mathit{AB}=50\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=108\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=60\mathit{cm}$，且 $\tan B=\tan C=\frac{4}{3}$，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 $M$、 $N$在边 $\mathit{BC}$上且面积最大的矩形 $\mathit{PQMN}$，求该矩形的面积．

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

如图，以原点 $O$为圆心，3为半径的圆与 $x$轴分别交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的右边）， $P$是半径 $\mathit{OB}$上一点，过 $P$且垂直于 $\mathit{AB}$的直线与 $\odot O$分别交于 $C$， $D$两点（点 $C$在点 $D$的上方），直线 $\mathit{AC}$， $\mathit{DB}$交于点 $E$．若 $\mathit{AC}:\mathit{CE}=1:2$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）求过点 $A$和点 $E$，且顶点在直线 $\mathit{CD}$上的抛物线的函数表达式．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图， $P$是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于点 $A$，以 $\mathit{AP}$为斜边在右侧作等腰 $\text{Rt}\Delta \text{APQ}$，已知直角顶点 $Q$的纵坐标为 $-2$，连接 $\mathit{OQ}$交 $\mathit{AP}$于 $B$， $\mathit{BQ}=2\mathit{OB}$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{OP}$，求 $\mathit{\Delta OPQ}$的面积与 $\mathit{\Delta OAQ}$的面积之比．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(5,0)$，以原点 $O$为圆心、3为半径作圆． $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位的速度沿 $y$轴正半轴运动，运动时间为 $t\left(s\right)$．连接 $\mathit{AP}$，将 $\mathit{\Delta OAP}$沿 $\mathit{AP}$翻折，得到 $\mathit{\Delta APQ}$．求 $\mathit{\Delta APQ}$有一边所在直线与 $\odot O$相切时 $t$的值．

如图， $P$是平面直角坐标系中第四象限内一点，过点 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于点 $A$，以 $\mathit{AP}$为斜边在右侧作等腰 $\text{Rt}\Delta \text{APQ}$，已知直角顶点 $Q$的纵坐标为 $-2$，连接 $\mathit{OQ}$交 $\mathit{AP}$于 $B$， $\mathit{BQ}=2\mathit{OB}$．

（1）求点 $P$的坐标；

（2）连接 $\mathit{OP}$，求 $\mathit{\Delta OPQ}$的面积与 $\mathit{\Delta OAQ}$的面积之比．