初中数学相似多边形的性质解答题

已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．

（1）求AE：AC的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

如图，在平面直角坐标系中，直线=分别与轴，轴相交于两点，点是轴的负半轴上的一个动点，以为圆心，3为半径作.
连结，若，试判断与轴的位置关系，并说明理由；
当为何值时，以与直线=的两个交点和圆心为顶点的三角形是正三角形？

如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点G为上一点，GE⊥AB，垂足为点E，交AC于点D，过点C的切线与AB的延长线交于点F，与EG的延长线交于点P，连接AG．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）若点D为AC的中点，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周长和AG的长．

  如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP= ，CQ=时，P、Q两点间的距离 (用含的代数式表示)．

已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．

（1）求证：△CDP∽△PAF；
（2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由．

如图，∠C=90°，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连结AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD⊥BC交AB于D，作DE⊥AC于E．F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．
用含有x的代数式表示CF的长
求点F与点B重合时x的值．
当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．
当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．

△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．

如图1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，边AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0＜t＜5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．

（1）直接写出 D，E 两点的坐标，D（         ），E（           ）
（2）求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？
（3）当t为何值时，DP平分∠EDA？
（4）当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．

（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．

类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E作交BG于点H，则AB和EH的数量关系是          ，CG和EH的数量关系是          ，的值是         
（2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是       （用含的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若，（，），则的值是             （用含a、b的代数式表示）．
          

已知，如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于A、C两点（A在C的左侧），交y轴于B、D两点（B在D的上方），且∠BAC＝30°，

（1）如图①求⊙P的半径及点B的坐标；
（2）点Q是⊙P上任意一点，求△ABQ面积S的取值范围；
（3）如图②，已知点M（－5，0），过M作直线y=kx+b交y轴于点N，
①若MN//AB，试判断MN与⊙P的位置关系，并说明理由；
②在该直线上存在一点G，使以G、A、C为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点G有且只有三个不同位置，求直线MN的函数关系式．

（本题14分）如图，在等边中，于点，点在边上运动，过点作与边交于点，连结，以为邻边作□，设□与重叠部分图形的面积为，线段的长为

（1）求线段的长（用含的代数式表示）；
（2）当四边形为菱形时，求的值；
（3）直接写出与之间的函数关系式．

如图，直线l经过点A（1，0），且与双曲线y＝（x＞0）交于点B（2，1），过点P（p，p－1）（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝（x＞0）和y＝－（x＜0）于M，N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN＝4S_△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知左右并排的两棵树高分别是AB=8m,CD=12m,两树的根部的距离BD=5m，小明眼睛离地面的高度EF为1.6m，他沿着正对这两棵树的一条水平直路从左到右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是斜边AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E．
（1）如图1，若点E在线段BC的延长线上，设AP=x，CE=y，

①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求AP的长；
（2）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，若CI=AP，求AP的长．