初中数学相似多边形的性质解答题

图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′；
（2）△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．

如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E．

（1）∠E=        度；
（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；
（3）求弦DE的长．

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC
（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，设运动时间为x秒．

（1）当x为何值时，BP=CQ；
（2）以A、P、Q为顶点的三角形能否与以C、Q、B为顶点的三角形相似？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．

如图D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且DE∥BC，AD∶AB=1∶4，

（1）证明：△ADE∽△ABC；
（2）当DE=2，求BC的长．

如图，在边上为1个单位长度的小正方形网格中：

（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移 5个单位长度后的△A₁B₁C₁．
（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₂B₂C₂，请在网格中画出△A₂B₂C₂．
（3）求△CC₁C₂的面积．

如图，在平面直角系中，直线：分别交轴、轴于、两点，直线分别交轴、轴于、两点，是轴上的一点，，过作轴交于，连接，当动点在线段上运动（不与点点重合）且时

（1）求证：∽；
（2）求线段的长（用的代数式表示）；
（3）若直线的方程是，求tan∠BAC的值．

根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写"真"或"假" $)$ ．

①四条边成比例的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

③两个大小不同的正方形相似． $($ 　　命题）

（2）如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 和四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $\angle \mathit{ABC}=\angle A_1{B}_1{C}_1$ ， $\angle \mathit{BCD}=\angle B_1{C}_1{D}_1$ ， $\frac{\mathit{AB}}{A_1{B}_1}=\frac{\mathit{BC}}{B_1{C}_1}=\frac{\mathit{CD}}{C_1{D}_1}$ ．求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 与四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 相似．

（3）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{AB}$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．记四边形 $\mathit{ABFE}$ 的面积为 $S_1$ ，四边形 $\mathit{EFCD}$ 的面积为 $S_2$ ，若四边形 $\mathit{ABFE}$ 与四边形 $\mathit{EFCD}$ 相似，求 $\frac{S_2}{S_1}$ 的值．

如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．

如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A、B，恰好被南岸的两棵树C、D遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

如图△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，△DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5．
回答下列问题：

（1）求证：△GAF∽△GBA；
（2）求证：AF²=FG•FC；
（3）设y=AF²+AG²，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（4）探究BF²、FG²、GC²之间的关系，证明你的结论．

如图，△ABC的边BC在直线l上，AD是△ABC的高，∠ABC=45°，BC=6cm，AB=2cm．点P从点B出发沿BC方向以1cm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动．PQ⊥BC，PQ交AB或AC于点Q，以PQ为一边向右侧作矩形PQRS，PS=2PQ．矩形PQRS与△ABC的重叠部分的面积为S（cm²），点P的运动时间为t（s）．回答下列问题：

（1）AD=         cm；
（2）当点R在边AC上时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式．

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求sinB的值．

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，点P在边BC上，点Q在边CD上，

（1）如图1，将△ADQ沿AQ折叠，点D恰好与点P重合，求CQ的长；
（2）如图2，若CQ=2，且△ABP与△PCQ相似，求BP的长；
（3）若点Q是CD边上的一点，且BC上不存在满足AP⊥PQ的点P，请探究：此时CQ的长必须满足什么条件？