初中数学平行线分线段成比例解答题

（1）如图1， $E$是正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $90°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①线段 $\mathit{DB}$和 $\mathit{DG}$的数量关系是　　；

②写出线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{BF}$和 $\mathit{DB}$之间的数量关系．

（2）当四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形， $\angle \mathit{ADC}=60°$，点 $E$是菱形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AB}$所在直线上的一点，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{DE}$，将 $\angle \mathit{BDE}$绕点 $D$逆时针旋转 $120°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{BC}$交于点 $F$和点 $G$．

①如图2，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上时，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BF}$和 $\mathit{BD}$之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点 $E$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上时， $\mathit{DE}$交射线 $\mathit{BC}$于点 $M$，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{AB}=2$，直接写出线段 $\mathit{GM}$的长度．

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x²-12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．

（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，，OB= 4，OE=2．

（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）求△OCD的面积；
（3）直接写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围．

已知反比例函数（m为常数）的图象经过点A（﹣1，6）．
（1）求m的值；
（2）如图，过点A作直线AC与函数的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB=2BC，求点C的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的顶点 $O$是坐标原点，点 $A$的坐标为 $(6,0)$，点 $B$的坐标为 $(0,8)$，点 $C$的坐标为 $(-2\sqrt{5}$， $4)$，点 $M$， $N$分别为四边形 $\mathit{OABC}$边上的动点，动点 $M$从点 $O$开始，以每秒1个单位长度的速度沿 $O\to A\to B$路线向终点 $B$匀速运动，动点 $N$从 $O$点开始，以每秒两个单位长度的速度沿 $O\to C\to B\to A$路线向终点 $A$匀速运动，点 $M$， $N$同时从 $O$点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间 $t$秒 $(t>0)$， $\mathit{\Delta OMN}$的面积为 $S$．

（1）填空： $\mathit{AB}$的长是　　， $\mathit{BC}$的长是　　；

（2）当 $t=3$时，求 $S$的值；

（3）当 $3<t<6$时，设点 $N$的纵坐标为 $y$，求 $y$与 $t$的函数关系式；

（4）若 $S=\frac{48}{5}$，请直接写出此时 $t$的值．

如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，－3），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax＋b的图象经过点A ，C。

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．

如图①，△OAB中，A（0，2），B（4，0），将△AOB向右平移m个单位，得到△O′A′B′．
（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y =的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．

如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数（）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；
（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中，已知 $D$是 $\mathit{BC}$边的中点， $G$是 $\mathit{\Delta ABC}$的重心，过 $G$点的直线分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$．

（1）如图1，当 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$时，求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{AE}}+\frac{\mathit{CF}}{\mathit{AF}}=1$；

（2）如图2，当 $\mathit{EF}$和 $\mathit{BC}$不平行，且点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$在 $\mathit{AB}$的延长线上或点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

问题1：如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta DEC}$的面积为 $S\text{'}$．

（1）当 $\mathit{AD}=3$时， $\frac{S\text{'}}{S}=$　　；

（2）设 $\mathit{AD}=m$，请你用含字母 $m$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

问题2：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$．设 $\mathit{AE}=n$，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta EFC}$的面积为 $S\text{'}$．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$在正方形 $\mathit{ECGF}$的边 $\mathit{CE}$上，连接 $\mathit{DG}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DG}$，交 $\mathit{BG}$于点 $H$．连接 $\mathit{HF}$， $\mathit{AF}$，其中 $\mathit{AF}$交 $\mathit{EC}$于点 $M$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AHF}$为等腰直角三角形．

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{EC}=5$，求 $\mathit{EM}$的长．

已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，）的图象相交于点 A（1，3）．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围；

如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（，-2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．

（1）求直线l的解析式；
（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．