初中数学平行线分线段成比例解答题

如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A（1，4）和点B（n，）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．

在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A$， $B$， $C$都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点 $D$，使以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 $\mathit{AB}$三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）、点D（3，n）．过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于F．

（1）求m，n的值；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）求：△OCD的面积．

如图，已知点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在y轴的右侧，当时，直接写出的取值范围．

（本小题10分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y= （k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．

（1）连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；
（2）连接CA，请问DE与CA是否平行？请说明理由；
（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot M$的直径， $\mathit{BC}$是 $\odot M$的切线，切点为 $B$， $C$是 $\mathit{BC}$上（除 $B$点外）的任意一点，连接 $\mathit{CM}$交 $\odot M$于点 $G$，过点 $C$作 $C\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BG}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\backsim \mathit{\Delta BCD}$；

（2）若 $\mathit{MB}=\mathit{BE}=1$，求 $\mathit{CD}$的长度．

（本小题8分）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数y= （k≠0）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．

（1）求一次函数解析式及反比例函数的解析式；
（2）若一次函数值大于反比例函数值，请求出相应的自变量的取值范围．

如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如下表：

x（cm）	10	15	20	25	30
y（g）	30	20	15	12	10

（1）猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
（2）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
（3）将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？

数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为 $12\mathit{cm}$的铅笔 $\mathit{AB}$斜靠在垂直于水平桌面 $\mathit{AE}$的直尺 $\mathit{FO}$的边沿上，一端 $A$固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔 $\mathit{AB}$绕端点 $A$顺时针旋转， $\mathit{AB}$与 $\mathit{OF}$交于点 $D$，当旋转至水平位置时，铅笔 $\mathit{AB}$的中点 $C$与点 $O$重合．

数学思考

（1）设 $\mathit{CD}=\mathit{xcm}$，点 $B$到 $\mathit{OF}$的距离 $\mathit{GB}=\mathit{ycm}$．

①用含 $x$的代数式表示： $\mathit{AD}$的长是　 $(6+x)$　 $\mathit{cm}$， $\mathit{BD}$的长是　　 $\mathit{cm}$；

② $y$与 $x$的函数关系式是　　，自变量 $x$的取值范围是　　．

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

$x\left(\mathit{cm}\right)$	6	5	4	3.5	3	2.5	2	1	0.5	0
$y\left(\mathit{cm}\right)$	0	0.55	1.2	1.58		2.47	3	4.29	5.08

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点 $(x,y)$．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

问题1：如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta DEC}$的面积为 $S\text{'}$．

（1）当 $\mathit{AD}=3$时， $\frac{S\text{'}}{S}=$　　；

（2）设 $\mathit{AD}=m$，请你用含字母 $m$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

问题2：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$．设 $\mathit{AE}=n$，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta EFC}$的面积为 $S\text{'}$．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{CD}$在正方形 $\mathit{ECGF}$的边 $\mathit{CE}$上，连接 $\mathit{DG}$，过点 $A$作 $\mathit{AH}//\mathit{DG}$，交 $\mathit{BG}$于点 $H$．连接 $\mathit{HF}$， $\mathit{AF}$，其中 $\mathit{AF}$交 $\mathit{EC}$于点 $M$．

（1）求证： $\mathit{\Delta AHF}$为等腰直角三角形．

（2）若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{EC}=5$，求 $\mathit{EM}$的长．

已知一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，）的图象相交于点 A（1，3）．

（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值的自变量的取值范围；

如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M，与y轴相交于点N，Rt△MON的外心为点A（，-2），反比例函数y=（x＞0）的图象过点A．

（1）求直线l的解析式；
（2）在函数y=（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P．若△ONP的面积是△OBC面积的3倍，求点P的坐标．