初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $P$ 为边 $\mathit{AD}$ 上一动点，连接 $\mathit{OP}$ ，以 $\mathit{OP}$ 为折痕，将 $\mathit{\Delta AOP}$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $E$ ，线段 $\mathit{PE}$ 与 $\mathit{OD}$ 相交于点 $F$ ．若 $\mathit{\Delta PDF}$ 为直角三角形，则 $\mathit{DP}$ 的长为 　 　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=1$ ， $\mathit{BC}=2$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别为 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta DEF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 翻折，使点 $D$ 落在 $\mathit{BC}$ 上的点 $M$ 处，过点 $E$ 作 $\mathit{EH}//\mathit{AB}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FG}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ．若四边形 $\mathit{ABHE}$ 与四边形 $\mathit{BCFG}$ 的面积相等，则 $\mathit{CF}$ 的长为 　　．

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{AD}=1$ ，点 $E$ 为边 $\mathit{CD}$ 上的一点（与 $C$ 、 $D$ 不重合），四边形 $\mathit{ABCE}$ 关于直线 $\mathit{AE}$ 的对称图形为四边形 $\mathit{ANME}$ ，延长 $\mathit{ME}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $P$ ，记四边形 $\mathit{PADE}$ 的面积为 $S$ ．

（1）若 $\mathit{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $S$ 的值；

（2）设 $\mathit{DE}=x$ ，求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中 $(\mathit{AB}>\mathit{CD})$ ， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{BCD}=90°$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$ ，把 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 沿着 $\mathit{AC}$ 翻折得到 $\text{Rt}\Delta \text{AEC}$ ，若 $\tan \angle \mathit{AED}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则线段 $\mathit{DE}$ 的长度 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{7}}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

$\frac{2\sqrt{7}}{5}$

矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=12$ ．将矩形折叠，使点 $A$ 落在点 $P$ 处，折痕为 $\mathit{DE}$ ．

（1）如图①，若点 $P$ 恰好在边 $\mathit{BC}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ ，求 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{DE}}$ 的值；

（2）如图②，若 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 的中点， $\mathit{EP}$ 的延长线交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{BE}$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $\mathit{BD}$ 上的 $A^{\text{'}}$ 处．若 $\angle \mathit{DBC}=24°$ ，则 $\angle A^{\text{'}}\mathit{EB}$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$66°$

B．

$60°$

C．

$57°$

D．

$48°$

在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长；

（3）若，记，，求的值．

如图1，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图2，此时与重合、都落在点），若，，则的长为　　．

如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A(-1,5)$ ， $B(-3,1)$ 和 $C(4,0)$ ，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段 $\mathit{AB}$ ，使点 $A$ 平移到点 $C$ ，画出平移后所得的线段 $\mathit{CD}$ ，并写出点 $D$ 的坐标为 　　；

（2）将线段 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ ，画出旋转后所得的线段 $\mathit{AE}$ ，并直接写出 $\cos \angle \mathit{BCE}$ 的值为 　　；

（3）在 $y$ 轴上找出点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta ABF}$ 的周长最小，并直接写出点 $F$ 的坐标为 　　．

如图，矩形中，为边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接交于点，连接．若，，则矩形的面积为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿直线 $\mathit{AE}$ 翻折，点 $B$ 落在点 $F$ 处，连结 $\mathit{CF}$ ，则 $\cos \angle \mathit{ECF}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2}{3}$

B．

$\frac{\sqrt{10}}{4}$

C．

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

D．

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

如图，折叠矩形纸片，使点落在边的点处，为折痕，，．设的长为，用含有的式子表示四边形的面积是　　．

如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接，给出下列判断：

①；

②折痕的长度的取值范围为；

③当四边形为正方形时，为的中点；

④若，则折叠后重叠部分的面积为．

其中正确的是　　．（写出所有正确判断的序号）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=20$ ，点 $E$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点，将 $\mathit{\Delta ABE}$ 沿着 $\mathit{AE}$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $\mathit{CD}$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $\mathit{DG}$ 上，将 $\mathit{\Delta ADF}$ 沿着 $\mathit{AF}$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $\mathit{AG}$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{\mathit{\Delta GFH}}:S_{\mathit{\Delta AFH}}=2:3$ ，

（1）求证： $\mathit{\Delta EGC}\backsim \mathit{\Delta GFH}$ ；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长；

（3）求 $\tan \angle \mathit{GFH}$ 的值．