初中数学翻折变换（折叠问题）试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4\sqrt{2}$， $\angle B=45°$， $\angle C=60°$．

（1）求 $\mathit{BC}$边上的高线长．

（2）点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的中点，点 $F$在边 $\mathit{AC}$上，连结 $\mathit{EF}$，沿 $\mathit{EF}$将 $\mathit{\Delta AEF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PEF}$．

①如图2，当点 $P$落在 $\mathit{BC}$上时，求 $\angle \mathit{AEP}$的度数．

②如图3，连结 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{PF}\perp \mathit{AC}$时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，有一张矩形纸条 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=5\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=2\mathit{cm}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{CN}=1\mathit{cm}$．现将四边形 $\mathit{BCNM}$沿 $\mathit{MN}$折叠，使点 $B$， $C$分别落在点 $B^{\text{'}}$， $C^{\text{'}}$上．当点 $B^{\text{'}}$恰好落在边 $\mathit{CD}$上时，线段 $\mathit{BM}$的长为　　 $\mathit{cm}$；在点 $M$从点 $A$运动到点 $B$的过程中，若边 $M{B}^{\text{'}}$与边 $\mathit{CD}$交于点 $E$，则点 $E$相应运动的路径长为　　 $\mathit{cm}$．

已知在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=m$， $D$是 $\mathit{AB}$边上的一点，将 $\angle B$沿着过点 $D$的直线折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边的点 $P$处（不与点 $A$， $C$重合），折痕交 $\mathit{BC}$边于点 $E$．

（1）特例感知 如图1，若 $\angle C=60°$， $D$是 $\mathit{AB}$的中点，求证： $\mathit{AP}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$；

（2）变式求异 如图2，若 $\angle C=90°$， $m=6\sqrt{2}$， $\mathit{AD}=7$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，求 $\mathit{DH}$和 $\mathit{AP}$的长；

（3）化归探究 如图3，若 $m=10$， $\mathit{AB}=12$，且当 $\mathit{AD}=a$时，存在两次不同的折叠，使点 $B$落在 $\mathit{AC}$边上两个不同的位置，请直接写出 $a$的取值范围．

如图是一张矩形纸片，点 $E$在 $\mathit{AB}$边上，把 $\mathit{\Delta BCE}$沿直线 $\mathit{CE}$对折，使点 $B$落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，连接 $\mathit{DF}$．若点 $E$， $F$， $D$在同一条直线上， $\mathit{AE}=2$，则 $\mathit{DF}=$　　， $\mathit{BE}=$　　．

在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 $\mathit{ABCD}$沿过点 $A$的直线折叠，使得点 $B$落在 $\mathit{CD}$上的点 $Q$处．折痕为 $\mathit{AP}$；再将 $\mathit{\Delta PCQ}$， $\mathit{\Delta ADQ}$分别沿 $\mathit{PQ}$， $\mathit{AQ}$折叠，此时点 $C$， $D$落在 $\mathit{AP}$上的同一点 $R$处．请完成下列探究：

（1） $\angle \mathit{PAQ}$的大小为　     ；

（2）当四边形 $\mathit{APCD}$是平行四边形时， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{QR}}$的值为　 　．

将一个直角三角形纸片 $\mathit{OAB}$放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(2,0)$，点 $B$在第一象限， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $P$在边 $\mathit{OB}$上（点 $P$不与点 $O$， $B$重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $\mathit{OP}=1$时，求点 $P$的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$，并与 $x$轴的正半轴相交于点 $Q$，且 $\mathit{OQ}=\mathit{OP}$，点 $O$的对应点为 $O^{\text{'}}$，设 $\mathit{OP}=t$．

①如图②，若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分为四边形， $O^{\text{'}}P$， $O^{\text{'}}Q$分别与边 $\mathit{AB}$相交于点 $C$， $D$，试用含有 $t$的式子表示 $O^{\text{'}}D$的长，并直接写出 $t$的取值范围；

②若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分的面积为 $S$，当 $1⩽t⩽3$时，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

如图，三角形纸片 $\mathit{ABC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，把 $\mathit{\Delta ABD}$沿着 $\mathit{AD}$翻折，得到 $\mathit{\Delta AED}$， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．若 $\mathit{DG}=\mathit{GE}$， $\mathit{AF}=3$， $\mathit{BF}=2$， $\mathit{\Delta ADG}$的面积为2，则点 $F$到 $\mathit{BC}$的距离为 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$C． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$为 $\mathit{BC}$边上的任意一点，把 $\mathit{\Delta PBE}$沿 $\mathit{PE}$折叠，得到 $\mathit{\Delta PFE}$，连接 $\mathit{CF}$．若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=12$，则 $\mathit{CF}$的最小值为　　．

矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，长 $\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，宽 $\mathit{AB}=4\mathit{cm}$，折叠纸片，使折痕经过点 $B$，交 $\mathit{AD}$边于点 $E$，点 $A$落在点 $A^{\text{'}}$处，展平后得到折痕 $\mathit{BE}$，同时得到线段 $B{A}^{\text{'}}$， $E{A}^{\text{'}}$，不再添加其它线段．当图中存在 $30°$角时， $\mathit{AE}$的长为　      　 ．

（1）如图1，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，使 $\mathit{BC}$落在对角线 $\mathit{BD}$上，折痕为 $\mathit{BE}$，点 $C$落在点 $C\text{'}$处，若 $\angle \mathit{ADB}=46°$，则 $\angle \mathit{DBE}$的度数为　　 $°$．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=9$．

【画一画】

如图2，点 $E$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CE}$所在直线上，折痕设为 $\mathit{MN}$（点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上），利用直尺和圆规画出折痕 $\mathit{MN}$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$在这张矩形纸片的边 $\mathit{BC}$上，将纸片折叠，使 $\mathit{FB}$落在射线 $\mathit{FD}$上，折痕为 $\mathit{GF}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，若 $\mathit{AG}=\frac{7}{3}$，求 $B\text{'}D$的长；

【验一验】

如图4，点 $K$在这张矩形纸片的边 $\mathit{AD}$上， $\mathit{DK}=3$，将纸片折叠，使 $\mathit{AB}$落在 $\mathit{CK}$所在直线上，折痕为 $\mathit{HI}$，点 $A$， $B$分别落在点 $A\text{'}$， $B\text{'}$处，小明认为 $B\text{'}I$所在直线恰好经过点 $D$，他的判断是否正确，请说明理由．

如图，在以线段 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上取一点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{AB}$翻折后得到 $\mathit{\Delta ABD}$．

（1）试说明点 $D$在 $\odot O$上；

（2）在线段 $\mathit{AD}$的延长线上取一点 $E$，使 $A{B}^2=\mathit{AC}·\mathit{AE}$．求证： $\mathit{BE}$为 $\odot O$的切线；

（3）在（2）的条件下，分别延长线段 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CB}$相交于点 $F$，若 $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AC}=4$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n$， $m>n$，点 $P$是边 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$，将 $\mathit{\Delta ACP}$沿 $\mathit{CP}$翻折得到 $\mathit{\Delta QCP}$．

（1）若 $m=4$， $n=3$，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$，求 $\mathit{BP}$的长；

（2）连接 $\mathit{BQ}$，若四边形 $\mathit{BCPQ}$是平行四边形，求 $m$与 $n$之间的关系式．

对给定的一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$进行如下操作：先沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$落在 $\mathit{CD}$边上（如图① $)$，再沿 $\mathit{CH}$折叠，这时发现点 $E$恰好与点 $D$重合（如图② $)$

（1）根据以上操作和发现，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AD}}$的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点 $C$与点 $H$重合，折痕与 $\mathit{AB}$相交于点 $P$，再将该矩形纸片展开．求证： $\angle \mathit{HPC}=90°$；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 $P$点，要求只有一条折痕，且点 $P$在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{CE}$翻折，点 $B$落在点 $F$处， $\tan \angle \mathit{DCE}=\frac{4}{3}$．设 $\mathit{AB}=x$， $\mathit{\Delta ABF}$的面积为 $y$，则 $y$与 $x$的函数图象大致为 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象交于 $A(4,-2)$、 $B(-2,n)$两点，与 $x$轴交于点 $C$．

（1）求 $k_2$， $n$的值；

（2）请直接写出不等式 $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$的解集；

（3）将 $x$轴下方的图象沿 $x$轴翻折，点 $A$落在点 $A\text{'}$处，连接 $A\text{'}B$， $A\text{'}C$，求△ $A\text{'}\mathit{BC}$的面积．