对给定的一张矩形纸片 ABCD 进行如下操作:先沿 CE 折叠,使点 B 落在 CD 边上(如图① ) ,再沿 CH 折叠,这时发现点 E 恰好与点 D 重合(如图② )
(1)根据以上操作和发现,求 CD AD 的值;
(2)将该矩形纸片展开.
①如图③,折叠该矩形纸片,使点 C 与点 H 重合,折痕与 AB 相交于点 P ,再将该矩形纸片展开.求证: ∠ HPC = 90 ° ;
②不借助工具,利用图④探索一种新的折叠方法,找出与图③中位置相同的 P 点,要求只有一条折痕,且点 P 在折痕上,请简要说明折叠方法.(不需说明理由)
如图,抛物线 y = − 1 2 x 2 + 3 2 x + 2 与 x 轴交于 A 、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C .
(1)试探究 ΔABC 的外接圆的圆心位置,求出圆心坐标;
(2)点 P 是抛物线上一点(不与点 A 重合),且 S ΔPBC = S ΔABC ,求 ∠ APB 的度数;
(3)在(2)的条件下,点 E 是 x 轴上方抛物线上一点,点 F 是抛物线对称轴上一点,是否存在这样的点 E 和点 F ,使得以点 B 、 P 、 E 、 F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图, ∠ MBN = 90 ° ,点 C 是 ∠ MBN 平分线上的一点,过点 C 分别作 AC ⊥ BC , CE ⊥ BN ,垂足分别为点 C , E , AC = 4 2 ,点 P 为线段 BE 上的一点(点 P 不与点 B 、 E 重合),连接 CP ,以 CP 为直角边,点 P 为直角顶点,作等腰直角三角形 CPD ,点 D 落在 BC 左侧.
(1)求证: CP CD = CE CB ;
(2)连接 BD ,请你判断 AC 与 BD 的位置关系,并说明理由;
(3)设 PE = x , ΔPBD 的面积为 S ,求 S 与 x 之间的函数关系式.
如图,一次函数 y = 3 4 x + 6 的图象交 x 轴于点 A 、交 y 轴于点 B , ∠ ABO 的平分线交 x 轴于点 C ,过点 C 作直线 CD ⊥ AB ,垂足为点 D ,交 y 轴于点 E .
(1)求直线 CE 的解析式;
(2)在线段 AB 上有一动点 P (不与点 A , B 重合),过点 P 分别作 PM ⊥ x 轴, PN ⊥ y 轴,垂足为点 M 、 N ,是否存在点 P ,使线段 MN 的长最小?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
某网络经销商销售一款夏季时装,进价每件60元,售价每件130元,每天销售30件,每销售一件需缴纳网络平台管理费4元.未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天起每天的单价均比前一天降1元,通过市场调查发现,该时装单价每降1元,每天销售量增加5件,设第 x 天 ( 1 ⩽ x ⩽ 30 且 x 为整数)的销量为 y 件.
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式;
(2)在这30天内,哪一天的利润是6300元?
(3)设第 x 天的利润为 W 元,试求出 W 与 x 之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大,最大利润是多少.
如图, ΔACE , ΔACD 均为直角三角形, ∠ ACE = 90 ° , ∠ ADC = 90 ° , AE 与 CD 相交于点 P ,以 CD 为直径的 ⊙ O 恰好经过点 E ,并与 AC , AE 分别交于点 B 和点 F .
(1)求证: ∠ ADF = ∠ EAC .
(2)若 PC = 2 3 PA , PF = 1 ,求 AF 的长.