初中数学作图—复杂作图解答题

如图，已知线段 $\mathit{MN}=a$， $\mathit{AR}\perp \mathit{AK}$，垂足为 $A$．

（1）求作四边形 $\mathit{ABCD}$，使得点 $B$， $D$分别在射线 $\mathit{AK}$， $\mathit{AR}$上，且 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=a$， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $P$， $Q$分别为（1）中四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点，求证：直线 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{PQ}$相交于同一点．

如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，°。以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD//BC。

（1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹）
（2）求证：[（3）若AD=1cm，，求BC长。

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$， $C$是弦 $\mathit{AB}$上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{DE}$，分别交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $D$， $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$；

②以点 $D$为圆心， $\mathit{DA}$长为半径作弧，交 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$于点 $F(F$， $A$两点不重合），连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BF}$．

（2）直接写出引理的结论：线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{BF}$的数量关系．

尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，且 $\mathit{AB}>\mathit{AC}$．

（1）在 $\mathit{AB}$边上求作点 $D$，使 $\mathit{DB}=\mathit{DC}$；

（2）在 $\mathit{AC}$边上求作点 $E$，使 $\mathit{\Delta ADE}\backsim \mathit{\Delta ACB}$．

尺规作图（要求保留作图痕迹）：已知：线段a，b． 求作：线段c，使得c=2b-a．

如图， $B$ 、 $F$ 、 $C$ 、 $E$ 是直线 $l$ 上的四点， $\mathit{AB}//\mathit{DE}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$ ， $\mathit{BF}=\mathit{CE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}\cong \mathit{\Delta DEF}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $l$ 翻折得到△ $A\text{'}\mathit{BC}$ ．

①用直尺和圆规在图中作出△ $A\text{'}\mathit{BC}$ （保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接 $A\text{'}D$ ，则直线 $A\text{'}D$ 与 $l$ 的位置关系是 　　．

如图， $C$为线段 $\mathit{AB}$外一点．

（1）求作四边形 $\mathit{ABCD}$，使得 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，且 $\mathit{CD}=2\mathit{AB}$；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $P$， $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点分别为 $M$， $N$，求证： $M$， $P$， $N$三点在同一条直线上．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$．

（1）尺规作图：作 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的外接圆 $\odot O$；作 $\angle \mathit{ACB}$的角平分线交 $\odot O$于点 $D$，连接 $\mathit{AD}$．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，已知 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线 $\mathit{AD}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ；

②作线段 $\mathit{AD}$ 的垂直平分线 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{AB}$ 相交于点 $O$ ；

③以点 $O$ 为圆心，以 $\mathit{OD}$ 长为半径画圆，交边 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ．

（2）在（1）的条件下，求证： $\mathit{BC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（3）若 $\mathit{AM}=4\mathit{BM}$ ， $\mathit{AC}=10$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，点 $A$ 是数轴上表示实数 $a$ 的点．

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数 $\sqrt{2}$ 的点 $P$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）根据数轴比较 $\sqrt{2}$ 和 $a$ 的大小，并说明理由．

如图，平面直角坐标系中，已知点 $B$的坐标为 $(6,4)$．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 $\mathit{AC}$，它与 $x$轴和 $y$轴的正半轴分别交于点 $A$和点 $C$，且使 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta AOC}$的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹． $)$

（2）问：（1）中这样的直线 $\mathit{AC}$是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线 $\mathit{AC}$，并写出与之对应的函数表达式．

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$，点 $P$为射线 $\mathit{OA}$上的一动点．过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp \mathit{OB}$于点 $C$．点 $D$在 $\angle \mathit{AOB}$内，且满足 $\angle \mathit{APD}=\angle \mathit{OPC}$， $\mathit{DP}+\mathit{PC}=10$．

（1）当 $\mathit{PC}=6$时，求点 $D$到 $\mathit{OB}$的距离；

（2）在射线 $\mathit{OA}$上是否存在一定点 $M$，使得 $\mathit{MD}=\mathit{MC}$？若存在，请用直尺（不带刻度）和圆规作出点 $M$（不必写作法，但要保留作图痕迹），并求 $\mathit{OM}$的长；若不存在，说明理由．

（1）如图1，已知 $\mathit{EK}$垂直平分 $\mathit{BC}$，垂足为 $D$， $\mathit{AB}$与 $\mathit{EK}$相交于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．求证： $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{CFD}$．

（2）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{GMN}$中， $\angle M=90°$， $P$为 $\mathit{MN}$的中点．

①用直尺和圆规在 $\mathit{GN}$边上求作点 $Q$，使得 $\angle \mathit{GQM}=\angle \mathit{PQN}$（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②在①的条件下，如果 $\angle G=60°$，那么 $Q$是 $\mathit{GN}$的中点吗？为什么？

下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：

（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．

（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．

（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．

（4）画一个一边长为 $2\sqrt{2}$，面积为6的等腰三角形．

如图，已知 $P$ 是 $\odot O$ 外一点．用两种不同的方法过点 $P$ 作 $\odot O$ 的一条切线．

要求：（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．