初中数学三角形的内切圆与内心试题

（1）如图，已知线段和点，利用直尺和圆规作，使点是的内心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在所画的中，若，，，则的内切圆半径是　　．

如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，过作直线．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求优弧的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $M$ 、 $N$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ （异于 $A$ 、 $B)$ 上两点， $C$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{MN}}$ 上一动点， $\angle \mathit{ACB}$ 的角平分线交 $\odot O$ 于点 $D$ ， $\angle \mathit{BAC}$ 的平分线交 $\mathit{CD}$ 于点 $E$ ．当点 $C$ 从点 $M$ 运动到点 $N$ 时，则 $C$ 、 $E$ 两点的运动路径长的比是 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\frac{\pi }{2}$

C．

$\frac{3}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内心为 $I$ ，连接 $\mathit{AI}$ 并延长交 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆于 $D$ ，则线段 $\mathit{DI}$ 与 $\mathit{DB}$ 的关系是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{DI}=\mathit{DB}$

B．

$\mathit{DI}>\mathit{DB}$

C．

$\mathit{DI}<\mathit{DB}$

D．

不确定

如图， $\mathit{PA}$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $A$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径，连接 $\mathit{OP}$ 交 $\odot O$ 于 $E$ ．过 $A$ 点作 $\mathit{AB}\perp \mathit{PO}$ 于点 $D$ ，交 $\odot O$ 于 $B$ ，连接 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{PB}$ ．

（1）求证： $\mathit{PB}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $E$ 为 $\mathit{\Delta PAB}$ 的内心；

（3）若 $\cos \angle \mathit{PAB}=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $\mathit{PO}$ 的长．

如图，边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内切圆的半径为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$2\sqrt{3}$

如图，分别以边长为2的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围成的图形是一个曲边三角形，已知是的内切圆，则阴影部分面积为　　．

如图，，点、分别在射线、上，，．

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在、两点分别与射线和相切．要求：写出作法，并保留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段、围成的封闭图形的面积．

如图，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CA}$ 分别相切于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3\sqrt{10}}{10}$

B．

$\frac{3\sqrt{10}}{5}$

C．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

D．

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

已知关于的一元二次方程．

（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；

（3）若的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 的内切圆 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CA}$ 、 $\mathit{AB}$ 分别相切于点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，且 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ， $\mathit{CA}=12$ ，则阴影部分（即四边形 $\mathit{AEOF})$ 的面积是 $($ 　　 $)$

A．

4

B．

6.25

C．

7.5

D．

9

阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德欧拉是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在中，和分别为外接圆和内切圆的半径，和分别为其中外心和内心，则．

如图1，和分别是的外接圆和内切圆，与相切分于点，设的半径为，的半径为，外心（三角形三边垂直平分线的交点）与内心（三角形三条角平分线的交点）之间的距离，则有．

下面是该定理的证明过程（部分）

延长交于点，过点作的直径，连接，．

，（同弧所对的圆周角相等）．

．，，①

如图2，在图1（隐去，的基础上作的直径，连接，，，．

是的直径，所以．

与相切于点，所以，

．

（同弧所对的圆周角相等），

，

．

②

任务：（1）观察发现：，　　（用含，的代数式表示）；

（2）请判断和的数量关系，并说明理由．

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

（4）应用：若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为　　．

如图，点 $I$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的内心， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AC}=3$ ， $\mathit{BC}=2$ ，将 $\angle \mathit{ACB}$ 平移使其顶点与 $I$ 重合，则图中阴影部分的周长为 $($ 　　 $)$

A．

4.5

B．

4

C．

3

D．

2

如图，，为中点，点在线段上（不与点，重合），将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．

（1）求证：；

（2）当时，求的长（结果保留；

（3）若的外心在扇形的内部，求的取值范围．