如图,点 是 的内心, 的延长线交 于点 ,交 的外接圆 于点 ,连接 ,过点 作直线 ,使 .
(1)求证:直线 是 的切线;
(2)求证: .
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?”
A.3步B.5步C.6步D.8步
我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
(1)等边三角形“内似线”的条数为 ;
(2)如图, 中, ,点 在 上,且 ,求证: 是 的“内似线”;
(3)在 中, , , , 、 分别在边 、 上,且 是 的“内似线”,求 的长.
如图,在 中, 是边 上的中线, , , 交 的延长线于点 , , .
(1)求 的长;
(2)求证: 为等腰三角形.
(3)求 的外接圆圆心 与内切圆圆心 之间的距离.
如图,在 中, , , .按以下步骤作图:
①以 为圆心,任意长为半径作弧,分别交 , 于点 , ;
②分别以 , 为圆心,以大于 的长为半径作弧,两弧相交于点 ;
③作射线 ;
④以同样的方法作射线 .
交 于点 ,连接 ,则 .
如图, 是 的内心,连接 、 、 , 、 、 的面积分别为 、 、 .则 .(填“ ”或“ ”或“ ”
如图, 为 的直径,且 ,点 在半圆上, ,垂足为点 , 为半圆上任意一点(不与点 重合),过 点作 于点 ,设 的内心为 ,连接 、 .
(1)求 的度数;
(2)当点 在半圆上从点 运动到点 时,求内心 所经过的路径长.
如图,矩形 中, , ,连接 , 和 分别是 和 的内切圆,则 的长是
A. B. C. D.
如图,矩形 中, , ,连接 , 和 分别是 和 的内切圆,则 的长是
A. B. C. D.
已知 的内切圆 与 、 、 分别相切于点 、 、 ,若 ,如图1.
(1)判断 的形状,并证明你的结论;
(2)设 与 相交于点 ,如图2, ,求 的长.
阅读下列材料并回答问题:
材料1:如果一个三角形的三边长分别为 , , ,记 ,那么三角形的面积为 . ①
古希腊几何学家海伦 ,约公元50年),在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在《度量》一书中,给出了公式①和它的证明,这一公式称海伦公式.
我国南宋数学家秦九韶(约 约 ,曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式: . ②
下面我们对公式②进行变形: .
这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式,所以我们也称①为海伦 秦九韶公式.
问题:如图,在 中, , , , 内切于 ,切点分别是 、 、 .
(1)求 的面积;
(2)求 的半径.