我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一

我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．

（1）等边三角形“内似线”的条数为　　；

（2）如图， $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 在 $AC$ 上，且 $BD = BC = AD$ ，求证： $BD$ 是 $ΔABC$ 的“内似线”；

（3）在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 4$ ， $BC = 3$ ， $E$ 、 $F$ 分别在边 $AC$ 、 $BC$ 上，且 $EF$ 是 $ΔABC$ 的“内似线”，求 $EF$ 的长．

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化简求值： $(1 - \frac{2}{a - 1}) \div \frac{a - 3}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $a = - 2$ ．

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解分式方程： $\frac{3}{x - 1} + 2 = \frac{x}{x - 1}$ ．

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如图所示，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $BN$ 、 $CN$ ，求 $ΔBCN$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $CM$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $EM$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $ΔABC$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图，在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为直径，点 $C$ 为圆上一点，延长 $AB$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，且 $∠ D = 30 °$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）分别过 $A$ 、 $B$ 两点作直线 $CD$ 的垂线，垂足分别为 $E$ 、 $F$ 两点，过 $C$ 点作 $AB$ 的垂线，垂足为点 $G$ ．求证： $C G^{2} = AE \cdot BF$ ．

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某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．

（1）设该商店购进甲型平板电脑 $x$ 台，请写出全部售出后该商店获利 $y$ 与 $x$ 之间函数表达式．

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