初中数学圆作图题

按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

（1）如图1， $A$为 $\odot O$上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 $\odot O$的内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．

①如图2，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{CD}$的中点，作 $\mathit{BC}$的中点 $F$．

②如图3，在由小正方形组成的 $4\times 3$的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点都在小正方形的顶点上，作 $\mathit{\Delta ABC}$的高 $\mathit{AH}$．

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径， $C$为半圆上一点， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$．

（1）请用直尺（不含刻度）与圆规在 $\mathit{BC}$上作一点 $D$，使得直线 $\mathit{OD}$平分 $\mathit{ABC}$的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{OD}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点 $O(0,0)$、 $A(4,1)$、 $B(4,4)$均在格点上．

（1）画出 $\mathit{\Delta OAB}$关于 $y$轴对称的△ $O{A}_1{B}_1$，并写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出 $\mathit{\Delta OAB}$绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到的△ $O{A}_2{B}_2$，并写出点 $A_2$的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $\mathit{OA}$在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $\pi )$．

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta OAB}$的三个顶点 $O(0,0)$、 $A(4,1)$、 $B(4,4)$均在格点上．

（1）画出 $\mathit{\Delta OAB}$关于 $y$轴对称的△ $O{A}_1{B}_1$，并写出点 $A_1$的坐标；

（2）画出 $\mathit{\Delta OAB}$绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$后得到的△ $O{A}_2{B}_2$，并写出点 $A_2$的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段 $\mathit{OA}$在旋转过程中扫过的面积（结果保留 $\pi )$．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点的坐标分别为 $A(-4,1)$， $B(-1,-1)$， $C(-3,3)$．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$先向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△ $A_1{B}_1{C}_1$（点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1)$，画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）将△ $A_1{B}_1{C}_1$绕着坐标原点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $A_2{B}_2{C}_2$（点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的对应点分别为点 $A_2$、 $B_2$、 $C_2)$，画出旋转后的△ $A_2{B}_2{C}_2$；

（3）求△ $A_1{B}_1{C}_1$在旋转过程中，点 $C_1$旋转到点 $C_2$所经过的路径的长．（结果用含 $\pi$的式子表示）

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点坐标分别为 $A(1,4)$， $B(1,1)$， $C(3,1)$．

（1）画出 $\mathit{\Delta ABC}$关于 $x$轴对称的△ $A_1{B}_1{C}_1$．

（2）画出 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$后得到的△ $A_2{B}_2{C}_2$．

（3）在（2）的条件下，求点 $A$所经过的路径长（结果保留 $\pi )$．

已知：线段 $a$及 $\angle \mathit{ACB}$．

求作： $\odot O$，使 $\odot O$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部， $\mathit{CO}=a$，且 $\odot O$与 $\angle \mathit{ACB}$的两边分别相切．

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上， $\angle \mathit{CBD}=\angle A$，过 $A$、 $D$两点的圆的圆心 $O$在 $\mathit{AB}$上．

（1）利用直尺和圆规在图1中画出 $\odot O$（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；

（2）判断 $\mathit{BD}$所在直线与（1）中所作的 $\odot O$的位置关系，并证明你的结论；

（3）设 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$， $F$为垂足，若点 $D$是线段 $\mathit{AC}$的黄金分割点（即 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{AD}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}})$，如图2，试说明四边形 $\mathit{DEFC}$是正方形）．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$是一块直角三角板，且 $\angle C=90°$， $\angle A=30°$，现将圆心为点 $O$的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$都相切时，试用直尺与圆规作出射线 $\mathit{CO}$；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若 $\mathit{BC}=9$，圆形纸片的半径为2，求圆心 $O$运动的路径长．

如图，已知等边 $\mathit{\Delta ABC}$，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） $:$

（1）作 $\mathit{\Delta ABC}$的外心 $O$；

（2）设 $D$是 $\mathit{AB}$边上一点，在图中作出一个正六边形 $\mathit{DEFGHI}$，使点 $F$，点 $H$分别在边 $\mathit{BC}$和 $\mathit{AC}$上．

“直角”在初中几何学习中无处不在．

如图，已知 $\angle \mathit{AOB}$，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断 $\angle \mathit{AOB}$是否为直角（仅限用直尺和圆规）．