初中数学菱形的判定与性质试题

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{AF}\perp \mathit{CD}$，垂足分别为 $E$， $F$，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

（1）求证： $▱\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=6$，求 $▱\mathit{ABCD}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABD}$ 中， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $\mathit{BD}$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{DC}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形；

②取 $\mathit{BC}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ ，若 $\mathit{OE}=\frac{13}{2}$ ， $\mathit{BD}=10$ ，求点 $E$ 到 $\mathit{AD}$ 的距离．

将一个直角三角形纸片 $\mathit{OAB}$放置在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(2,0)$，点 $B$在第一象限， $\angle \mathit{OAB}=90°$， $\angle B=30°$，点 $P$在边 $\mathit{OB}$上（点 $P$不与点 $O$， $B$重合）．

（Ⅰ）如图①，当 $\mathit{OP}=1$时，求点 $P$的坐标；

（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $P$，并与 $x$轴的正半轴相交于点 $Q$，且 $\mathit{OQ}=\mathit{OP}$，点 $O$的对应点为 $O^{\text{'}}$，设 $\mathit{OP}=t$．

①如图②，若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分为四边形， $O^{\text{'}}P$， $O^{\text{'}}Q$分别与边 $\mathit{AB}$相交于点 $C$， $D$，试用含有 $t$的式子表示 $O^{\text{'}}D$的长，并直接写出 $t$的取值范围；

②若折叠后△ $O^{\text{'}}\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分的面积为 $S$，当 $1⩽t⩽3$时，求 $S$的取值范围（直接写出结果即可）．

如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当时，求的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是轴对称图形，且直线 $\mathit{AC}$ 是对称轴， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$ ，则下列结论： ① $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$ ； ② $\mathit{AD}//\mathit{BC}$ ； ③ 四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形； ④ $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta CDB}$ ．其中正确的是 　           　 （只填写序号）

如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{CD}=2\mathit{AD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$， $F$为 $\mathit{DC}$的中点，连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{BF}$，下列结论：① $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{ABF}$；② $\mathit{EF}=\mathit{BF}$；③ $S_{\mathit{四边形DEBC}}=2S_{\mathit{\Delta EFB}}$；④ $\angle \mathit{CFE}=3\angle \mathit{DEF}$，其中正确结论的个数共有 $($　　 $)$

A．1个B．2个C．3个D．4个

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=2\mathit{AB}=4$，点 $E$、 $F$分别是 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2）当四边形 $\mathit{AECF}$为菱形时，求出该菱形的面积．

规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若、的坐标分别为，，是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，垂直直线于点，则四边形是广义菱形．其中正确的是　　．（填序号）

如图，已知在中，，，分别是，，的中点，连结，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求四边形的周长．

如图，有两张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和 $\mathit{EFGH}$ ， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=2\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=\mathit{FG}=8\mathit{cm}$ ．把纸片 $\mathit{ABCD}$ 交叉叠放在纸片 $\mathit{EFGH}$ 上，使重叠部分为平行四边形，且点 $D$ 与点 $G$ 重合．当两张纸片交叉所成的角 $\alpha$ 最小时， $\tan \alpha$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{4}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{8}{17}$

D．

$\frac{8}{15}$

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$， $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$，垂足为点 $O$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形；

（2）若 $\mathit{CD}=3$， $\mathit{BD}=2\sqrt{5}$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是线段 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的点，点 $O$ 是 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BD}$ 的交点．若将 $\mathit{\Delta BED}$ 沿直线 $\mathit{BD}$ 折叠，则点 $E$ 与点 $F$ 重合．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$ 是菱形；

（2）若 $\mathit{ED}=2\mathit{AE}$ ， $\mathit{AB}\cdot \mathit{AD}=3\sqrt{3}$ ，求 $\mathit{EF}\cdot \mathit{BD}$ 的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{\Delta DBC}$和 $\mathit{\Delta ABC}$关于直线 $\mathit{BC}$对称，连接 $\mathit{AD}$，与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$，过点 $C$作 $\mathit{CE}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $C$， $\mathit{AD}$相交于点 $E$，若 $\mathit{AD}=8$， $\mathit{BC}=6$，则 $\frac{2\mathit{OE}+\mathit{AE}}{\mathit{BD}}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{3}{4}$C． $\frac{5}{3}$D． $\frac{5}{4}$

如图， $E$， $F$是正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BEDF}$是菱形；

（2）若正方形边长为4， $\mathit{AE}=\sqrt{2}$，求菱形 $\mathit{BEDF}$的面积．