初中数学菱形的判定与性质解答题

菱形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $0°<\angle \mathit{ABO}⩽60°$ ，点 $G$ 是射线 $\mathit{OD}$ 上一个动点，过点 $G$ 作 $\mathit{GE}//\mathit{DC}$ 交射线 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ ，以 $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OG}$ 为邻边作矩形 $\mathit{EOGF}$ ．

（1）如图1，当点 $F$ 在线段 $\mathit{DC}$ 上时，求证： $\mathit{DF}=\mathit{FC}$ ；

（2）若延长 $\mathit{AD}$ 与边 $\mathit{GF}$ 交于点 $H$ ，将 $\mathit{\Delta GDH}$ 沿直线 $\mathit{AD}$ 翻折 $180°$ 得到 $\mathit{\Delta MDH}$ ．

①如图2，当点 $M$ 在 $\mathit{EG}$ 上时，求证：四边形 $\mathit{EOGF}$ 为正方形；

②如图3，当 $\tan \angle \mathit{ABO}$ 为定值 $m$ 时，设 $\mathit{DG}=k·\mathit{DO}$ ， $k$ 为大于0的常数，当且仅当 $k>2$ 时，点 $M$ 在矩形 $\mathit{EOGF}$ 的外部，求 $m$ 的值．

如图， $\mathit{\Delta ABD}$ 中， $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $\mathit{BD}$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{DC}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，交 $\mathit{BD}$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形；

②取 $\mathit{BC}$ 的中点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ ，若 $\mathit{OE}=\frac{13}{2}$ ， $\mathit{BD}=10$ ，求点 $E$ 到 $\mathit{AD}$ 的距离．

如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交、边于点、．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）当时，求的长．

如图，在中，是斜边的中点，以为直径作圆交于点，延长至，使，连接、，交圆于点．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）求证：；

（3）若，，求的长．

如图，将沿着边翻折，得到，且．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若，，求四边形的面积．

如图，已知在中，，，分别是，，的中点，连结，，．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求四边形的周长．

如图，是以为底的等腰三角形，是边上的高，点、分别是、的中点．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）如果四边形的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形的面积．

将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．是边上的一点（点不与点，重合），沿着折叠该纸片，得点的对应点．

（1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求点的坐标；

（2）如图②，当为中点时，求的长；

（3）当时，求点的坐标（直接写出结果即可）．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和，使得．（如图）解决这个问题的操作步骤如下： 第一步，在上作出一点，使得，连接．第二步，在上取一点，作，交于点，并在上取一点，使．第三步，过点作，交于点．第四步，过点作，交于点，再过点作，交于点． 则有． 下面是该结论的部分证明： 证明：，， 又．△． ． 同理可得．． ，．

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形的形状，并加以证明；

（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成的证明过程；

（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形放大得到四边形，从而确定了点，的位置，这里运用了下面一种图形的变化是　　．

．平移             ．旋转            ．轴对称           ．位似

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}>90°)$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 剪开，得到 $\mathit{\Delta ABC}$ 和 $\mathit{\Delta ACD}$ ．

操作发现

（1）将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图2所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，分别延长 $\mathit{BC}$ 和 $\mathit{DC}\text{'}$ 交于点 $E$ ，则四边形 $\mathit{ACEC}\text{'}$ 的形状是 　 　；

（2）创新小组将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $\alpha$ ，使 $\alpha =2\angle \mathit{BAC}$ ，得到如图3所示的△ $\mathit{AC}\text{'}D$ ，连接 $\mathit{DB}$ ， $C\text{'}C$ ，得到四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ ，发现它是矩形，请你证明这个结论；

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 $\mathit{BC}=13\mathit{cm}$ ， $\mathit{AC}=10\mathit{cm}$ ，然后提出一个问题：将△ $\mathit{AC}\text{'}D$ 沿着射线 $\mathit{DB}$ 方向平移 $\mathit{acm}$ ，得到△ $A\text{'}C\text{'}D\text{'}$ ，连接 $\mathit{BD}\text{'}$ ， $\mathit{CC}\text{'}$ ，使四边形 $\mathit{BCC}\text{'}D$ 恰好为正方形，求 $a$ 的值，请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的 $\mathit{\Delta ACD}$ 在同一平面内进行一次平移，得到△ $A\text{'}C\text{'}D$ ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

图①，图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段，在图②中已画出线段，其中、、、均为格点，按下列要求画图：

（1）在图①中，以为对角线画一个菱形，且，为格点；

（2）在图②中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且，为格点，．

如图①，是矩形的对角线，，．将沿射线方向平移到△的位置，使为中点，连接，，，，如图②．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）四边形的周长为　　；

（3）将四边形沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若平分，，求的长．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $P$ 是弦 $\mathit{AC}$ 上一动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ，射线 $\mathit{EP}$ 交 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 于点 $F$ ，交过点 $C$ 的切线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}=\mathit{DP}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{CAB}=30°$ ，当 $F$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 的中点时，判断以 $A$ ， $O$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．