如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 是弦 $AC$ 上一动点（不与 $A$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，射线 $EP$ 交 $\hat{AC}$ 于点 $F$ ，交过点 $C$ 的切线于点 $D$ ．

（1）求证： $DC = DP$ ；

（2）若 $∠ CAB = 30 °$ ，当 $F$ 是 $\hat{AC}$ 的中点时，判断以 $A$ ， $O$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $AD$ 下方抛物线上一动点，连接 $PA$ ， $PD$ ，求 $ΔPAD$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 沿射线 $AD$ 平移 $4 \sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_{1}$ 的对称轴上任意一点，在 $y_{1}$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

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（1）判断5313，6437是否为"共生数"？并说明理由；

（2）对于"共生数" $n$ ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F (n) = \frac{n}{3}$ ．求满足 $F (n)$ 各数位上的数字之和是偶数的所有 $n$ ．

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（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11} a %$ ．求 $a$ 的值．

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探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；

（3）已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．

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如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，连接 $AC$ ，且 $AC = 2 AB$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $∠ BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $E$ ．连接 $BD$ 交 $AE$ 于点 $F$ ，交 $AC$ 于点 $O$ ，猜想线段 $BF$ 和线段 $DF$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

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