初中数学菱形的判定与性质解答题

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AD}$ 为直径，点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ECB}$ ；

（2）若 $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线， $\angle \mathit{CAD}=30°$ ，连接 $\mathit{OC}$ ，如图2．

①请判断四边形 $\mathit{ABCO}$ 的形状，并说明理由；

②当 $\mathit{AB}=2$ 时，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ 围成阴影部分的面积．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{ABOC}$的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$的中点 $D$， $E$作 $\mathit{AE}$， $\mathit{AD}$的平行线，相交于点 $F$，已知 $\mathit{OB}=8$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AEFD}$为菱形．

（2）求四边形 $\mathit{AEFD}$的面积．

（3）若点 $P$在 $x$轴正半轴上（异于点 $D)$，点 $Q$在 $y$轴上，平面内是否存在点 $G$，使得以点 $A$， $P$， $Q$， $G$为顶点的四边形与四边形 $\mathit{AEFD}$相似？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由．

如图，在四边形中，，，点在边上．

（1）判断四边形的形状并加以证明；

（2）若，以过点的直线为轴，将四边形折叠，使点、分别落在点、上，且经过点，折痕与四边形的另一交点为．

①在图2中作出四边形（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；

②如果，那么 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{PB}}$为何值时，．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象交 $x$ 轴于点 $A(-3,0)$ ， $B(1,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $P(m,0)$ 是 $x$ 轴上的一动点， $\mathit{PM}\perp x$ 轴，交直线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 $P$ 仅在线段 $\mathit{AO}$ 上运动，如图，求线段 $\mathit{MN}$ 的最大值；

②若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ ， $N$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式与的值；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；

（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．

（1）求线段的长；

（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；

（3）在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到△，过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．