如图，二次函数 的图象交 轴于点 ， ，交 轴于点 ．点 是 轴上的一动点， 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点 仅在线段 上运动，如图，求线段 的最大值；
②若点 在 轴上运动，则在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ， 是抛物线上一点（点 与点 、 、 不重合）．
（1） ，点 的坐标是 ；
（2）设直线 与直线 相交于点 ，是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接 、 ，判断 和 的数量关系，并说明理由．
（1）如图1，已知 垂直平分 ，垂足为 ， 与 相交于点 ，连接 ．求证： ．
（2）如图2，在 中， ， 为 的中点．
①用直尺和圆规在 边上求作点 ，使得 （保留作图痕迹，不要求写作法）；
②在①的条件下，如果 ，那么 是 的中点吗？为什么？
阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， ， ；
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为 的绳子的一端固定在点 ，沿草坪边沿 ， 走到点 处，把长绳 段拉直并固定在点 ，然后沿草坪边沿 、 走到点 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 ．求 的长．
京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 、 和点 、 ，先用卷尺量得 ， ，再用测角仪测得 ， ，求该段运河的河宽（即 的长）．
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