初中数学菱形的性质解答题

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，连结 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AC}$交于点 $O$，过点 $O$作 $\mathit{OH}\perp \mathit{BC}$于点 $H$，以点 $O$为圆心， $\mathit{OH}$为半径的半圆交 $\mathit{AC}$于点 $M$．

①求证： $\mathit{DC}$是 $\odot O$的切线．

②若 $\mathit{AC}=4\mathit{MC}$且 $\mathit{AC}=8$，求图中阴影部分的面积．

③在②的条件下， $P$是线段 $\mathit{BD}$上的一动点，当 $\mathit{PD}$为何值时， $\mathit{PH}+\mathit{PM}$的值最小，并求出最小值．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上，且 $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$．求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$．

如图，矩形 $\mathit{EFGH}$的顶点 $E$， $G$分别在菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，顶点 $F$， $H$在菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上．

（1）求证： $\mathit{BG}=\mathit{DE}$；

（2）若 $E$为 $\mathit{AD}$中点， $\mathit{FH}=2$，求菱形 $\mathit{ABCD}$的周长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $F$ ，使 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{CF}$ ．

求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$ ．

在图1，2，3中，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=120°$，点 $E$为线段 $\mathit{BC}$上的动点，连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边向上作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{EAG}=120°$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $B$重合时， $\angle \mathit{CEF}=$　　 $°$；

（2）如图2，连接 $\mathit{AF}$．

①填空： $\angle \mathit{FAD}$　　 $\angle \mathit{EAB}$（填“ $>$”，“ $<$ “，“ $=$” $)$；

②求证：点 $F$在 $\angle \mathit{ABC}$的平分线上；

（3）如图3，连接 $\mathit{EG}$， $\mathit{DG}$，并延长 $\mathit{DG}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $H$，当四边形 $\mathit{AEGH}$是平行四边形时，求 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的半圆 $O$交 $\mathit{AC}$于点 $D$，点 $E$是 $\widehat{\mathit{BD}}$上不与点 $B$， $D$重合的任意一点，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta BDG}$；

（2）填空：

①若 $\mathit{AB}=4$，且点 $E$是 $\widehat{\mathit{BD}}$的中点，则 $\mathit{DF}$的长为　 　；

②取 $\widehat{\mathit{AE}}$的中点 $H$，当 $\angle \mathit{EAB}$的度数为　　时，四边形 $\mathit{OBEH}$为菱形．

如图， $\mathit{AB}$为半圆 $O$的直径，点 $C$为半圆上任一点．

（1）若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，过点 $C$作半圆 $O$的切线交直线 $\mathit{AB}$于点 $P$．求证： $\mathit{\Delta PBC}\cong \mathit{\Delta AOC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，过点 $C$作 $\mathit{AB}$的平行线交半圆 $O$于点 $D$．当以点 $A$， $O$， $C$， $D$为顶点的四边形为菱形时，求 $\widehat{\mathit{BC}}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=110°$，点 $E$是菱形 $\mathit{ABCD}$内一点，连结 $\mathit{CE}$绕点 $C$顺时针旋转 $110°$，得到线段 $\mathit{CF}$，连结 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，若 $\angle E=86°$，求 $\angle F$的度数．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$，且 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$， $\mathit{AE}//\mathit{BD}$．求证：四边形 $\mathit{AODE}$是矩形．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AB}=8$， $\angle \mathit{BAD}=60°$，点 $E$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$运动，当点 $E$不与点 $A$重合时，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$，作 $\mathit{EG}//\mathit{AD}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AD}$（或 $\mathit{AD}$的延长线）于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EFHG}$，设点 $E$运动的时间为 $t$秒

（1）求线段 $\mathit{EF}$的长（用含 $t$的代数式表示）；

（2）求点 $H$与点 $D$重合时 $t$的值；

（3）设矩形 $\mathit{EFHG}$与菱形 $\mathit{ABCD}$重叠部分图形的面积与 $S$平方单位，求 $S$与 $t$之间的函数关系式；

（4）矩形 $\mathit{EFHG}$的对角线 $\mathit{EH}$与 $\mathit{FG}$相交于点 $O\text{'}$，当 $\mathit{OO}\text{'}//\mathit{AD}$时， $t$的值为　　；当 $\mathit{OO}\text{'}\perp \mathit{AD}$时， $t$的值为　　．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$为对角线，点 $E$， $F$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证： $\mathit{AC}\perp \mathit{EF}$；

（2）延长 $\mathit{EF}$交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $G$，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $O$．若 $\mathit{BD}=4$， $\tan G=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{AO}$的长．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，点 $F$， $G$在 $\mathit{AB}$上， $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{OG}//\mathit{EF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{OEFG}$是矩形；

（2）若 $\mathit{AD}=10$， $\mathit{EF}=4$，求 $\mathit{OE}$和 $\mathit{BG}$的长．

（年云南省曲靖市）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是，tanα=，求四边形OBEC的面积．

（年新疆、生产建设兵团）如图，四边形ABCD为菱形，点E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交AB于点F，连结BE．
（1）如图①，求证：∠AFD=∠EBC；
（2）如图②，若DE=EC且BE⊥AF，求∠DAB的度数；
（3）若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数（只写出条件与对应的结果）