初中数学平行四边形的性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为平行四边形， $F$是 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AF}$并延长与 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $E$．求证： $\mathit{BC}=\mathit{CE}$．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DE}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta FCE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$， $\angle F=36°$．求 $\angle B$的度数．

如图，点在内部，，．

（1）求证：；

（2）设的面积为，四边形的面积为，求的值．

图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点

（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；

（2）图1中所画的平行四边形的面积为　　．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $O$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 的交点， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足分别为点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$ ．

（2）若 $\mathit{BE}=5$ ， $\mathit{OF}=2$ ，求 $\tan \angle \mathit{OBE}$ 的值．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长，交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F$．求证： $\mathit{FA}=\mathit{AB}$．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

如图， $▱\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ ，分别交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{DC}$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{CE}$ ．

（1）若 $\mathit{OE}=\frac{3}{2}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长；

（2）判断四边形 $\mathit{AECF}$ 的形状，并说明理由．

（1）如图1，点为矩形对角线上一点，过点作，分别交、于点、．若，，的面积为，的面积为，则　 　；

（2）如图2，点为内一点（点不在上），点、、、分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（3）如图3，点为内一点（点不在上），过点作，，与各边分别相交于点、、、．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中，求的面积（用含、的代数式表示）；

（4）如图4，点、、、把四等分．请你在圆内选一点（点不在、上），设、、围成的封闭图形的面积为，、、围成的封闭图形的面积为，的面积为，的面积为，根据你选的点的位置，直接写出一个含有、、、的等式（写出一种情况即可）．

如图所示，抛物线 $y=x^2-2x-3$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求点 $C$ 及顶点 $M$ 的坐标．

（2）若点 $N$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 $\mathit{BN}$ 、 $\mathit{CN}$ ，求 $\mathit{\Delta BCN}$ 面积的最大值及此时点 $N$ 的坐标．

（3）若点 $D$ 是抛物线对称轴上的动点，点 $G$ 是抛物线上的动点，是否存在以点 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $G$ 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

（4）直线 $\mathit{CM}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若点 $P$ 是线段 $\mathit{EM}$ 上的一个动点，是否存在以点 $P$ 、 $E$ 、 $O$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似．若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　，线段的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点是线段下方抛物线上的一个动点．

①如果在轴上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．求点的坐标．

②如图2，过点作交线段于点，过点作直线交于点，交轴于点，记，求关于的函数解析式；当取和时，试比较的对应函数值和的大小．

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标；

（3）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；

（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BF}$ ，试猜想 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{BF}$ 的数量关系，并加以证明．

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿着 $\mathit{BF}(F$ 为 $\mathit{CD}$ 的中点）所在直线折叠，如图②，点 $C$ 的对应点为 $C\text{'}$ ，连接 $\mathit{DC}\text{'}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $G$ ，请判断 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{BG}$ 的数量关系，并加以证明．

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 $▱\mathit{ABCD}$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图③，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，使 $A\text{'}B\perp \mathit{CD}$ 于点 $H$ ，折痕交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，连接 $A\text{'}M$ ，交 $\mathit{CD}$ 于点 $N$ ．该小组提出一个问题：若此 $▱\mathit{ABCD}$ 的面积为20，边长 $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ，求图中阴影部分（四边形 $\mathit{BHNM})$ 的面积．请你思考此问题，直接写出结果．