初中数学三角形综合题试题

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{DCB}$，求证： $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作 $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，与 $\mathit{CD}$相交于点 $E$．

方法2：如图3，作 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{DCB}$，与 $\mathit{AB}$相交于点 $F$．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 $\mathit{AC}=\mathit{AD}$．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$在 $\mathit{BC}$上，且 $\angle \mathit{BDE}=2\angle \mathit{ABC}$，点 $F$在 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{AFE}=\angle \mathit{BAC}$，延长 $\mathit{DC}$、 $\mathit{FE}$，相交于点 $G$，且 $\angle \mathit{DGF}=\angle \mathit{BDE}$．

①在图中找出与 $\angle \mathit{DEF}$相等的角，并加以证明；

②若 $\mathit{AB}=\mathit{kDF}$，猜想线段 $\mathit{DE}$与 $\mathit{DB}$的数量关系，并证明你的猜想．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$， $\mathit{AB}=c$，若 $\angle C=90°$，如图1，则有 $a^2+b^2=c^2$；若 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时，小明猜想： $a^2+b^2>c^2$，理由如下：如图2，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{CB}$于点 $D$，设 $\mathit{CD}=x$．在 $\text{Rt}\Delta \text{ADC}$中， $A{D}^2=b^2-x^2$，在 $\text{Rt}\Delta \text{ADB}$中， $A{D}^2=c^2-{(a-x)}^2$

$\therefore a^2+b^2=c^2+2\mathit{ax}$

$\because a>0$， $x>0$

$\therefore 2\mathit{ax}>0$

$\therefore a^2+b^2>c^2$

$\therefore$当 $\mathit{\Delta ABC}$为锐角三角形时， $a^2+b^2>c^2$

所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当 $\mathit{\Delta ABC}$为钝角三角形时， $a^2+b^2$与 $c^2$的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作 $\mathit{BC}$边上的高．

（3）证明你猜想的结论是否正确．

（1）阅读理解：

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，求 $\mathit{BC}$边上的中线 $\mathit{AD}$的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $\mathit{AD}$到点 $E$使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，再连接 $\mathit{BE}$（或将 $\mathit{\Delta ACD}$绕着点 $D$逆时针旋转 $180°$得到 $\mathit{\Delta EBD})$，把 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$， $2\mathit{AD}$集中在 $\mathit{\Delta ABE}$中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $\mathit{AD}$的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{BC}$边上的中点， $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$于点 $D$， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，求证： $\mathit{BE}+\mathit{CF}>\mathit{EF}$；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B+\angle D=180°$， $\mathit{CB}=\mathit{CD}$， $\angle \mathit{BCD}=140°$，以 $C$为顶点作一个 $70°$角，角的两边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于 $E$、 $F$两点，连接 $\mathit{EF}$，探索线段 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{EF}$之间的数量关系，并加以证明．

阅读下列材料并回答问题：

材料1：如果一个三角形的三边长分别为 $a$， $b$， $c$，记 $p=\frac{a+b+c}{2}$，那么三角形的面积为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．    ①

古希腊几何学家海伦 $(\mathit{Heron}$，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式．

我国南宋数学家秦九韶（约 $1202--$约 $1261)$，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： $S=\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}$．     ②

下面我们对公式②进行变形： $\sqrt{\frac{1}{4}[a^2{b}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)}^2]}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\mathit{ab}\right)}^2-{\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{4}\right)}^2}=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathit{ab}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4})(\frac{1}{2}\mathit{ab}-\frac{a^2+b^2-c^2}{4})}=\sqrt{\frac{2\mathit{ab}+a^2+b^2-c^2}{4}·\frac{2\mathit{ab}-a^2-b^2+c^2}{4}}=\sqrt{\frac{{(a+b)}^2-c^2}{4}·\frac{c^2-{(a-b)}^2}{4}}=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}·\frac{a+b-c}{2}·\frac{a+c-b}{2}·\frac{b+c-a}{2}}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$．

这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦 $--$秦九韶公式．

问题：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{AC}=7$， $\odot O$内切于 $\mathit{\Delta ABC}$，切点分别是 $D$、 $E$、 $F$．

（1）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；

（2）求 $\odot O$的半径．

如图，等边△ ABC中， AB＝6，点 D在 BC上， BD＝4，点 E为边 AC上一动点（不与点 C重合），△ CDE关于 DE的轴对称图形为△ FDE．

（1）当点 F在 AC上时，求证： DF∥ AB；

（2）设△ ACD的面积为 S ₁，△ ABF的面积为 S ₂，记 S＝ S ₁﹣ S ₂， S是否存在最大值？若存在，求出 S的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当 B， F， E三点共线时．求 AE的长．

如图，在Rt△ ABC中，∠ ABC＝90°， BC＝3， D为斜边 AC的中点，连接 BD，点 F是 BC边上的动点（不与点 B、 C重合），过点 B作 BE⊥ BD交 DF延长线交于点 E，连接 CE，下列结论：

①若 BF＝ CF，则 CE ²+ AD ²＝ DE ²；

②若∠ BDE＝∠ BAC， AB＝4，则 CE＝ $\frac{15}{8}$ ；

③△ ABD和△ CBE一定相似；

④若∠ A＝30°，∠ BCE＝90°，则 DE＝ $\sqrt{21}$ ．

其中正确的是 　．（填写所有正确结论的序号）

如图，在Rt△ ACB中，∠ ACB＝90°， AC＝ BC， D是 AB上的一个动点（不与点 A， B重合），连接 CD，将 CD绕点 C顺时针旋转90°得到 CE，连接 DE， DE与 AC相交于点 F，连接 AE．下列结论：

①△ ACE≌△ BCD；

②若∠ BCD＝25°，则∠ AED＝65°；

③ DE ²＝2 CF• CA；

④若 AB＝3 $\sqrt{2}$ ， AD＝2 BD，则 AF＝ $\frac{5}{3}$ ．

其中正确的结论是 　　．（填写所有正确结论的序号）

如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$ ，则

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ BC× AD＝ $\frac{1}{2}$ × BC× ACsin∠ C＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C，

即 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C

同理 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ bcsin∠ A

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ acsin∠ B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则

a ²＝ b ²+ c ²﹣2 bccos∠ A

b ²＝ a ²+ c ²﹣2 accos∠ B

c ²＝ a ²+ b ²﹣2 abcos∠ C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S _{△ DEF}和 DE ²．

解： S _{△ DEF}＝ EF× DFsin∠ F＝ 　　；

DE ²＝ EF ²+ DF ²﹣2 EF× DFcos∠ F＝ 　　．

（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S ₁、 S ₂、 S ₃、 S ₄，求证： S ₁+ S ₂＝ S ₃+ S ₄．

如图，在△ ABC与△ ADE中， AB＝ AC， AD＝ AE，∠ BAC＝∠ DAE，且点 D在 AB上，点 E与点 C在 AB的两侧，连接 BE， CD，点 M、 N分别是 BE、 CD的中点，连接 MN， AM， AN．

下列结论：①△ ACD≌△ ABE；②△ ABC∽△ AMN；③△ AMN是等边三角形；④若点 D是 AB的中点，则 S _{△ ABC}＝2 S _{△ ABE}．

其中正确的结论是 　．（填写所有正确结论的序号）

如图，等腰中，，，点在线段上运动（不与、重合），将与分别沿直线、翻折得到与，给出下列结论：

①；

②的大小不变；

③面积的最小值为 $\frac{4\sqrt{3}}{5}$；

④当点在的中点时，是等边三角形，

其中所有正确结论的序号是　　．

如图，射线 $\mathit{AB}$ 和射线 $\mathit{CB}$ 相交于点 $B$ ， $\angle \mathit{ABC}=\alpha (0°<\alpha <180°)$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{CB}$ ．点 $D$ 是射线 $\mathit{CB}$ 上的动点（点 $D$ 不与点 $C$ 和点 $B$ 重合），作射线 $\mathit{AD}$ ，并在射线 $\mathit{AD}$ 上取一点 $E$ ，使 $\angle \mathit{AEC}=\alpha$ ，连接 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）如图①，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =90°$ 时，请直接写出 $\angle \mathit{AEB}$ 的度数；

（2）如图②，当点 $D$ 在线段 $\mathit{CB}$ 上， $\alpha =120°$ 时，请写出线段 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CE}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ ， $\tan \angle \mathit{DAB}=\frac{1}{3}$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{BE}}$ 的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 是等边三角形， $\mathit{AB}=4\mathit{cm}$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AB}$ 向点 $B$ 匀速运动，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AB}$ ，交折线 $\mathit{AC}-\mathit{CB}$ 于点 $Q$ ，以 $\mathit{PQ}$ 为边作等边三角形 $\mathit{PQD}$ ，使点 $A$ ， $D$ 在 $\mathit{PQ}$ 异侧．设点 $P$ 的运动时间为 $x\left(s\right)(0<x<2)$ ， $\mathit{\Delta PQD}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 重叠部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$ ．

（1） $\mathit{AP}$ 的长为 　 　 $\mathit{cm}$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

（2）当点 $D$ 落在边 $\mathit{BC}$ 上时，求 $x$ 的值．

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

（1）特例感知：如图（一 $)$ ，已知边长为2的等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，求 $\mathit{\Delta OBC}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

（2）性质探究：如图（二 $)$ ，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 的重心为点 $O$ ，请判断 $\frac{\mathit{OD}}{\mathit{OA}}$ 、 $\frac{S_{\mathit{\Delta OBC}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$ 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

（3）性质应用：如图（三 $)$ ，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BE}$ 交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $M$ ．

①若正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边长为4，求 $\mathit{EM}$ 的长度；

②若 $S_{\mathit{\Delta CME}}=1$ ，求正方形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}==90°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 在边 $\mathit{BC}$ 上， $\mathit{DE}\perp \mathit{DA}$ 且 $\mathit{DE}=\mathit{DA}$ ， $\mathit{AE}$ 交边 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{CE}$ ．

（1）特例发现：如图1，当 $\mathit{AD}=\mathit{AF}$ 时，

①求证： $\mathit{BD}=\mathit{CF}$ ；

②推断： $\angle \mathit{ACE}=$ 　 　 $°$ ；

（2）探究证明：如图2，当 $\mathit{AD}\ne \mathit{AF}$ 时，请探究 $\angle \mathit{ACE}$ 的度数是否为定值，并说明理由；

（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AF}}=\frac{1}{3}$ 时，过点 $D$ 作 $\mathit{AE}$ 的垂线，交 $\mathit{AE}$ 于点 $P$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $K$ ，若 $\mathit{CK}=\frac{16}{3}$ ，求 $\mathit{DF}$ 的长．

如图1，和都是等边三角形．

探究发现

（1）与是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若、、三点不在一条直线上，，，，求的长．

（3）若、、三点在一条直线上（如图，且和的边长分别为1和2，求的面积及的长．