初中数学勾股定理解答题

课本再现

（1）在证明"三角形内角和定理"时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明，其中与 $\angle A$ 相等的角是 　　；

类比迁移

（2）如图2，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}$ 与 $\angle \mathit{ADC}$ 互余，小明发现四边形 $\mathit{ABCD}$ 中这对互余的角可类比（1）中思路进行拼合：先作 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{ABC}$ ，再过点 $C$ 作 $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{AE}$ ，发现 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DE}$ ， $\mathit{AE}$ 之间的数量关系是 　　；

方法运用

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，连接 $\mathit{AC}$ ， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，点 $O$ 是 $\mathit{\Delta ACD}$ 两边垂直平分线的交点，连接 $\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{OAC}=\angle \mathit{ABC}$ ．

①求证： $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=90°$ ；

②连接 $\mathit{BD}$ ，如图4，已知 $\mathit{AD}=m$ ， $\mathit{DC}=n$ ， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=2$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的式子表示）．

在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为 $12\mathit{cm}$ ， $B$ 为母线 $\mathit{OC}$ 的中点，点 $A$ 在底面圆周上， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 的长为 $4\mathit{\pi cm}$ ．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $B$ 的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成． $O$ 是圆锥的顶点，点 $A$ 在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为 $l$ ，圆柱的高为 $h$ ．

①蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $O$ 的最短路径的长为 　 $l+h$ 　（用含 $l$ ， $h$ 的代数式表示）．

②设 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$ 的长为 $a$ ，点 $B$ 在母线 $\mathit{OC}$ 上， $\mathit{OB}=b$ ．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点 $A$ 爬行到点 $B$ 的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

已知 $\mathit{\Delta AOB}$ 和 $\mathit{\Delta MON}$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{OA}<\mathit{OM}<\mathit{OA})$ ， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{MON}=90°$ ．

（1）如图1，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BN}$ ，求证： $\mathit{AM}=\mathit{BN}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta MON}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $\mathit{AB}$ 边上时，求证： $A{M}^2+B{M}^2=2O{M}^2$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $\mathit{OA}=4$ ， $\mathit{OM}=3$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $\mathit{BC}=2$，使用作图工具作 $\angle \mathit{BAC}=30°$，尝试操作后思考： （1）这样的点 $A$唯一吗？ （2）点 $A$的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$的位置不唯一，它在以 $\mathit{BC}$为弦的圆弧上（点 $B$、 $C$除外）， $\dots$．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　　；

② $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值为 　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A\text{'}$，请你根据图1证明 $\angle \mathit{BA}\text{'}C>30°$．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的边长 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在直线 $\mathit{CD}$的左侧，且 $\tan \angle \mathit{DPC}=\frac{4}{3}$．

①线段 $\mathit{PB}$长的最小值为 　　；

②若 $S_{\mathit{\Delta PCD}}=\frac{2}{3}{S}_{\mathit{\Delta PAD}}$，则线段 $\mathit{PD}$长为 　　．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的斜边 $\mathit{BC}$ 上的两动点， $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{BC}$ 且 $\mathit{CD}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）求证： $E{F}^2=B{E}^2+C{F}^2$ ；

（3）如图②，作 $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $H$ ，设 $\angle \mathit{EAH}=\alpha$ ， $\angle \mathit{FAH}=\beta$ ，不妨设 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\alpha +\beta =45°$ 时， $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ 成立．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点（含端点 $A$ 、 $B)$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}$ 垂直于射线 $\mathit{CD}$ ，垂足为 $E$ ，点 $F$ 在射线 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{EF}=\mathit{BE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BF}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABF}\backsim \mathit{\Delta CBE}$ ；

（2）如图2，连接 $\mathit{AE}$ ，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别为线段 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EF}$ 的中点，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{MN}$ 、 $\mathit{PN}$ ．求 $\angle \mathit{PMN}$ 的度数及 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{PM}}$ 的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{BC}=\sqrt{2}$ ，直接写出 $\mathit{\Delta PMN}$ 面积的最大值．

某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系问题”进行了以下探究：

类比探究

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为斜边向外侧作 $\text{Rt}\Delta \text{ABD}$， $\text{Rt}\Delta \text{ACE}$， $\text{Rt}\Delta \text{BCF}$，若 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$，则面积 $S_1$， $S_2$， $S_3$之间的关系式为　    　；

推广验证

（2）如图3，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{BC}$为斜边，分别以 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$为边向外侧作任意 $\mathit{\Delta ABD}$， $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{\Delta BCF}$，满足 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$， $\angle D=\angle E=\angle F$，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；

拓展应用

（3）如图4，在五边形 $\mathit{ABCDE}$中， $\angle A=\angle E=\angle C=105°$， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DE}=2$，点 $P$在 $\mathit{AE}$上， $\angle \mathit{ABP}=30°$， $\mathit{PE}=\sqrt{2}$，求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$为边 $\mathit{AB}$上的两个三等分点，点 $A$关于 $\mathit{DE}$的对称点为 $A\text{'}$， $\mathit{AA}\text{'}$的延长线交 $\mathit{BC}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DE}//A\text{'}F$；

（2）求 $\angle \mathit{GA}\text{'}B$的大小；

（3）求证： $A\text{'}C=2A\text{'}B$．

如图，圆 $O$ 中两条互相垂直的弦 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ．

（1） $M$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $\mathit{OM}=3$ ， $\mathit{CD}=12$ ，求圆 $O$ 的半径长；

（2）点 $F$ 在 $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$ ，求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{BD}$ ．